Utilize o que foi verificado no exercício anterior para mostrar que: cos theta+cos phi=2 cos (theta+phi2) cos (theta-phi2)

Passo 1

Estamos mostrando que a soma de dois cossenos pode ser escrita como produto de cossenos: queremos provar que costheta+cosphi=2cosl(tfractheta+phi2r)cosl(tfractheta-phi2r). O conteúdo aqui é identidades trigonométricas (soma e diferença de ângulos) e vamos usar as fórmulas de cosseno de soma e diferença.

Passo 2

Definimos duas variáveis que representam a média e a metade da diferença dos ângulos: seja x=tfractheta+phi2 e y=tfractheta-phi2. Assim fica fácil reescrever theta e phi em função de x e y:
theta = x+y,
phi = x-y

Passo 3

Escrevemos cada cosseno usando as fórmulas de soma e diferença:
cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y,
cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y
Agora somamos essas duas expressões: os termos com sin xsin y se cancelam e ficamos com
cos(x+y)+cos(x-y)=2cos xcos y

Passo 4

Voltando às variáveis originais, lembramos que x=tfractheta+phi2 e y=tfractheta-phi2. Logo
costheta+cosphi=cos(x+y)+cos(x-y)=2cos xcos y=2cosl(tfractheta+phi2r)cosl(tfractheta-phi2r)

Resposta

costheta+cosphi=2cosl(tfractheta+phi2r)cosl(tfractheta-phi2r)

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