Use as definições das funções trigonométricas e hiperbólicas complexas para verificar as expressões abaixo.
cos (j z)=cosh z

Passo 1

Neste exercício, queremos verificar que cos(j z) = cosh z usando as definições de funções trigonométricas e hiperbólicas complexas. Vamos precisar das fórmulas de cos(w) e cosh(w) em termos de exponenciais.

Passo 2

Recordando as definições para um número complexo w:
$ cos(w) = e^j w + e^-j w2,
cosh(w) = e^w + e^-w2, e lembrando que j^2 = -1.

Passo 3

Substituindo w = j z na definição de cos(w), temos:
cos(j z) = e^j (j z) + e^-j (j z)2

Passo 4

Usando j^2 = -1, simplificamos os expoentes:
$$
j(jz) = -z,\quad -!j(jz) = z, j(jz) = -z, -!j(jz) = z,\cos(j z) = \frac{e^{-z} + e^{z}}{2}.$$

Passo 5

Pela definição de cosh(z):
cosh(z) = e^z + e^-z2, vemos que as duas expressões coincidem, confirmando a igualdade.

Resposta

cos(j z) = cosh z

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