Você é gerente de uma fábrica que produz motores por meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A tecnologia pode ser resumida pela função de produção: , onde q é o número de motores produzidos por semana, L é o número de equipes de trabalho e K , o número de máquinas. Cada máquina é alugada ao custo, , de 20.000 w_{2}=\ por semana.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Você é o gerente de uma fábrica que produz motores usando equipes de trabalho e máquinas de montagem. A função de produção é dada por q = L^0,5 times K , onde:
  • q = quantidade de motores produzidos por semana
  • L = número de equipes de trabalho
  • K = número de máquinas
Precisamos calcular o lucro máximo da empresa considerando os custos fixos e variáveis, e o preço de venda dos motores. Vamos usar conceitos de função de produção, custos e maximização de lucro para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de produção: q = L^0,5 times K . Isso significa que a quantidade de motores produzidos depende do número de equipes ( L ) e do número de máquinas ( K ). Como a fábrica já tem 10 máquinas fixas ( K = 10 ), podemos simplificar a função:
q = L^0,5 times 10
Isso nos ajuda a relacionar o número de equipes com a produção.

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo total de produção. O custo total é a soma dos custos fixos e variáveis.
Custos Fixos:
  • Aluguel das máquinas: 20.000 = $200.000$ por semana
Custos Variáveis:
  • Custo das equipes de trabalho: 20.000 $ por equipe por semana
  • Matérias-primas: 4.000 $ por motor produzido
Então, o custo total ( ) é:
$ 200.000 + 20.000L + 4.000q
q = 10 \times L^{0,5} \Rightarrow L = \left(\frac{q}{10}\right)^2
$ 200.000 + 20.000 \times \frac{q^2}{100} + 4.000q

Passo 4

Agora, vamos calcular a receita total ( ). A receita é o preço de venda por motor multiplicado pela quantidade produzida:
$ 40.000 \times q
\Pi = R - C
\Pi = 40.000q - (200.000 + 200q^2 + 4.000q)
\Pi = 40.000q - 200.000 - 200q^2 - 4.000q
\Pi = 36.000q - 200q^2 - 200.000 $$

Passo 5

Para encontrar o lucro máximo, precisamos derivar a função de lucro em relação a q e igualar a zero. Isso porque o ponto máximo ocorre onde a derivada é zero.
Derivando Pi em relação a q :
dPidq = 36.000 - 400q
Igualando a zero:
36.000 - 400q = 0
400q = 36.000
q = 36.000400
q = 90
Então, a quantidade que maximiza o lucro é 90 motores por semana.

Passo 6

Agora, vamos calcular o lucro máximo substituindo q = 90 na função de lucro:
Pi = 36.000 times 90 - 200 times 90^2 - 200.000
Pi = 3.240.000 - 200 times 8.100 - 200.000
Pi = 3.240.000 - 1.620.000 - 200.000
Pi = 1.420.000

Resposta

O lucro máximo da empresa é de $1.420.000 por semana.

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