Você é gerente de uma fábrica que produz motores por meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A tecnologia pode ser resumida pela função de produção:
, onde q é o número de motores produzidos por semana, L é o número de equipes de trabalho e K , o número de máquinas. Cada máquina é alugada ao custo,
, de
20.000
w_{2}=\ por semana.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Você é o gerente de uma fábrica que produz motores usando equipes de trabalho e máquinas de montagem. A função de produção é dada por
, onde:
-
= quantidade de motores produzidos por semana -
= número de equipes de trabalho -
= número de máquinas
Precisamos calcular o lucro máximo da empresa considerando os custos fixos e variáveis, e o preço de venda dos motores. Vamos usar conceitos de função de produção, custos e maximização de lucro para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de produção:
. Isso significa que a quantidade de motores produzidos depende do número de equipes (
) e do número de máquinas (
). Como a fábrica já tem 10 máquinas fixas (
), podemos simplificar a função:
Isso nos ajuda a relacionar o número de equipes com a produção.
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo total de produção. O custo total é a soma dos custos fixos e variáveis.
Custos Fixos:
- Aluguel das máquinas:
20.000 = $200.000$ por semana
Custos Variáveis:
- Custo das equipes de trabalho:
20.000 $ por equipe por semana - Matérias-primas:
4.000 $ por motor produzido
Então, o custo total (
) é:
$
200.000 + 20.000L + 4.000q
q = 10 \times L^{0,5} \Rightarrow L = \left(\frac{q}{10}\right)^2
$
200.000 + 20.000 \times \frac{q^2}{100} + 4.000q
Passo 4
Agora, vamos calcular a receita total (
). A receita é o preço de venda por motor multiplicado pela quantidade produzida:
$
40.000 \times q
\Pi = R - C
\Pi = 40.000q - 200.000 - 200q^2 - 4.000q
\Pi = 36.000q - 200q^2 - 200.000 $$
Passo 5
Para encontrar o lucro máximo, precisamos derivar a função de lucro em relação a
e igualar a zero. Isso porque o ponto máximo ocorre onde a derivada é zero.
Derivando
em relação a
:
Igualando a zero:
Então, a quantidade que maximiza o lucro é 90 motores por semana.
Passo 6
Agora, vamos calcular o lucro máximo substituindo
na função de lucro:
Resposta
O lucro máximo da empresa é de $1.420.000 por semana.