Use derivação implícita para achar todos os pontos do gráfico de y^4+y^2=x(x-1) nos quais a reta tangente é vertical.
g) y=ln (x1+x^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função explícita e pede para calcular a derivada y'. O conteúdo aqui é derivação de função composta e regra do quociente.

Passo 2

Escrevemos y como y=ln(u) com u=x1+x^2. Pela regra da cadeia,
y'=u'u,

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente em u=x1+x^2:
$$u’=\frac{(1+x^2)\cdot1 - x\cdot2x}{(1+x2)2} = \frac{1 + x^2 -2x2}{(1+x2)^2} = \frac{1 - x2}{(1+x2)^2}.
$$

Passo 4

Substituindo em y'=u'u e simplificando:
$$y’=\frac{\frac{1 - x2}{(1+x2)2}}{\frac{x}{1+x2}} = \frac{1 - x2}{(1+x2)^2} \cdot \frac{1+x^2}{x} = \frac{1 - x2}{x,(1+x2)}.
$$

Resposta

y'=1 - x^2x(1 + x^2)

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