Utilize coordenadas polares para determinar o limite [ Se(r, theta) são as coordenadas polares do ponto (x, y) com r >= 0, observe que r 0^+quando (x, y) (0,0).]
lim (x, y) (0,0) e^-x^2-y^2-1x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite de f(x,y)=e^-x^2-y^2-1x^2+y^2 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é usar coordenadas polares pra transformar x^2+y^2 em r^2 e analisar o comportamento quando rto0^+.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos x=rcostheta, y=rsintheta e portanto x^2+y^2=r^2. Substituindo em f(x,y) temos:
e^-x^2-y^2-1x^2+y^2 =e^-r^2-1r^2 =e^-1,e^-r^2r^2

Passo 3

Quando rto0^+, pela continuidade do exponencial, e^-r^2to1. Então a expressão se comporta como e^-1/r^2, que cresce sem limite conforme r se aproxima de zero.

Passo 4

Como esse resultado diverge para +infty independentemente de theta, concluímos que o limite não é finito e vai para mais infinito.

Resposta

O limite é +infty.

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