Use a derivação implícita para determinar d yd x nas seguintes funções
tg(x-y)=y1+x^2

Passo 1

A questão pede para usar derivação implícita na equação tan(x - y) = y1 + x^2. Estamos na matéria de derivadas e vamos precisar da regra da cadeia para tan, da derivada de tan u que é sec^2 u cdot u', e da regra do quociente para y1+x^2.

Passo 2

Aplicamos a derivada implícita nos dois lados em relação a x:
ddxl[tan(x - y)r] = ddx[y1+x^2]

Passo 3

No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia: derivada de tan(u) é sec^2(u)cdot u'. Como u = x - y, temos u' = 1 - y'. Logo:
ddxl[tan(x - y)r] = sec^2(x - y),(1 - y')

Passo 4

No lado direito, aplicamos a regra do quociente para y1+x^2. Se v = y e w = 1 + x^2, então v' = y' e w' = 2x. A derivada fica:
(1+x^2),y' - y,(2x)(1+x^2)^2

Passo 5

Igualando as duas expressões, obtemos:
sec^2(x - y),(1 - y') = (1+x^2)y' - 2xy(1+x^2)^2

Passo 6

Multiplicamos tudo por (1+x^2)^2 para eliminar o denominador do lado direito:
(1+x^2)^2,sec^2(x - y),(1 - y') = (1+x^2)y' - 2xy

Passo 7

Expandindo o lado esquerdo e recolhendo os termos com y' de um lado:
(1+x^2)^2sec^2(x - y) - (1+x^2)^2sec^2(x - y),y' = (1+x^2)y' - 2xy
Reagrupando os termos com y':
(1+x^2)^2sec^2(x - y) + 2xy = y'l[(1+x^2)^2sec^2(x - y) + (1+x^2)r]

Passo 8

Isolando y', chegamos em:
dydx = (1+x^2)^2sec^2(x - y) + 2xy(1+x^2)^2sec^2(x - y) + (1+x^2)

Resposta

dydx = (1+x^2)^2sec^2(x - y) + 2xy(1+x^2)^2sec^2(x - y) + (1+x^2)

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