Use a derivação implícita para determinar
nas seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função definida implicitamente por
. O conteúdo aqui é derivação implícita, então vamos derivar ambos os lados em relação a
, usando regra do produto e lembrando que
.
Passo 2
Derivando em relação a
o lado esquerdo, separamos os dois termos:
$$\frac{d}{dx}\bigl[y(1+e^x)\bigr];-\frac{d}{dx}\bigl[x y^2\bigr];=
0
\frac{d}{dx}[y]\cdot(1+e^x)+ y\cdot\frac{d}{dx}[1+e^x]=
y’,(1+e^x) + y,e^x
\frac{d}{dx}[x]\cdot y^2 + x\cdot\frac{d}{dx}[y^2]=
y^2 + x,(2y,y’)
(1+e^x)y’ + y e^x - \bigl(y^2 + 2x y y’\bigr) = 0$$
Passo 3
Agora agrupamos os termos com
de um lado e os sem
do outro:
Fatorando
Por fim, isolamos
dividindo ambos os lados pelo fator que multiplica
: