Use a derivação implícita para determinar d yd x nas seguintes funções
y(1+e^x)-x y^2=7

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada dydx da função definida implicitamente por y(1+e^x)-x y^2=7. O conteúdo aqui é derivação implícita, então vamos derivar ambos os lados em relação a x, usando regra do produto e lembrando que y=y(x).

Passo 2

Derivando em relação a x o lado esquerdo, separamos os dois termos:
$$\frac{d}{dx}\bigl[y(1+e^x)\bigr];-\frac{d}{dx}\bigl[x y^2\bigr];=
0 ddxl[y(1+e^x)r];-ddxl[x y^2r];= 0\frac{d}{dx}[y]\cdot(1+e^x)+ y\cdot\frac{d}{dx}[1+e^x]=
y’,(1+e^x) + y,e^x y(1+e^x)é\frac{d}{dx}[x]\cdot y^2 + x\cdot\frac{d}{dx}[y^2]=
y^2 + x,(2y,y’) ddx[y]cdot(1+e^x)+ ycdotddx[1+e^x]= y',(1+e^x) + y,e^xçã(1+e^x)y’ + y e^x - \bigl(y^2 + 2x y y’\bigr) = 0$$

Passo 3

Agora agrupamos os termos com y' de um lado e os sem y' do outro:
(1+e^x)y' - 2x y y' = y^2 - y e^x
Fatorando y' no lado esquerdo:
l(1 + e^x - 2x yr),y' = y^2 - y e^x
Por fim, isolamos y' dividindo ambos os lados pelo fator que multiplica y':

Resposta

dydx = y^2 - y e^x1 + e^x - 2x y

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