Use a derivação implícita para determinar d yd x nos itens abaixo:
x^2 sen(1y)=1-x y

Passo 1

Oi! Vamos resolver essa equação usando derivação implícita. A gente tem $ x^{2} \sin\left(\frac{1}{y}\right) = 1 - x y $ e precisa encontrar x^2 sin(1y) = 1 - x y . Para isso, vamos usar a regra da derivada implícita, que é útil quando $ y $ está misturado com $ x $ na equação. Vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia durante o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x

Passo 3

No lado esquerdo, temos um produto de duas funções: $ x^{2} $ e $ \sin\left(\frac{1}{y}\right) $. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Então:
x^2

Passo 4

Agora, vamos derivar cada parte:
  • A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $.
  • Para $ \sin\left(\frac{1}{y}\right) $, usamos a regra da cadeia. A derivada do seno é o cosseno vezes a derivada do argumento:
x^2

Passo 5

Vamos derivar $ \frac{1}{y} $ em relação a $ x $:
1y

Passo 6

Substituindo as derivadas de volta no lado esquerdo:
2x cdot sin(1y) + x^2 cdot cos(1y) cdot ( -1y^2 cdot dydx )

Passo 7

No lado direito da equação original, derivamos $ 1 - x y $:
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de $ -x y $ usa a regra do produto:
1 - x y

Passo 8

Então, temos a equação derivada completa:
2x cdot sin(1y) - x^2 cdot cos(1y) cdot 1y^2 cdot dydx = -x dydx - y

Passo 9

Vamos reunir os termos com $ \frac{dy}{dx} $ em um lado e os outros termos no outro:
dydx

Passo 10

Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Passo 11

Isolando $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Resposta

A derivada dydx é igual a:
dydx = y + 2x cdot sin(1y) x^2 cdot cos(1y) cdot 1y^2 - x

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