Use a derivação implícita para determinar
nos itens abaixo:
Passo 1
Oi! Vamos resolver essa equação usando derivação implícita. A gente tem $ x^{2} \sin\left(\frac{1}{y}\right) = 1 - x y $ e precisa encontrar
. Para isso, vamos usar a regra da derivada implícita, que é útil quando $ y $ está misturado com $ x $ na equação. Vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia durante o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
Passo 3
No lado esquerdo, temos um produto de duas funções: $ x^{2} $ e $ \sin\left(\frac{1}{y}\right) $. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada parte:
- A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $.
- Para $ \sin\left(\frac{1}{y}\right) $, usamos a regra da cadeia. A derivada do seno é o cosseno vezes a derivada do argumento:
Passo 5
Vamos derivar $ \frac{1}{y} $ em relação a $ x $:
Passo 6
Substituindo as derivadas de volta no lado esquerdo:
Passo 7
No lado direito da equação original, derivamos $ 1 - x y $:
- A derivada de 1 é 0.
- A derivada de $ -x y $ usa a regra do produto:
Passo 8
Então, temos a equação derivada completa:
Passo 9
Vamos reunir os termos com $ \frac{dy}{dx} $ em um lado e os outros termos no outro:
Passo 10
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 11
Isolando $ \frac{dy}{dx} $:
Resposta
A derivada
é igual a: