Use a derivação implícita para determinar d yd x nas seguintes funções
sen(x y+47)+x arctg 2 y=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente achar dydx usando derivação implícita. O enunciado nos dá a função sin(x y + 47) + x arctan(2 y) = 4. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y é função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x. Começando com sin(x y + 47). Usamos a regra da cadeia aqui:
ddx sin(x y + 47) = cos(x y + 47) cdot ddx (x y + 47)
Agora, derivando x y + 47, aplicamos a regra do produto para x y:
ddx (x y) = y + x dydx
Então, a derivada do primeiro termo fica:
cos(x y + 47) cdot (y + x dydx)

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo, x arctan(2 y). Usamos novamente a regra do produto:
ddx [x arctan(2 y)] = arctan(2 y) + x cdot ddx arctan(2 y)
Para derivar arctan(2 y), aplicamos a regra da cadeia:
ddx arctan(2 y) = 11 + (2 y)^2 cdot 2 dydx
Então, a derivada do segundo termo fica:
arctan(2 y) + x cdot 21 + 4 y^2 dydx

Passo 4

Derivando o lado direito da equação, temos:
ddx 4 = 0

Passo 5

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, a equação derivada fica:
cos(x y + 47) cdot (y + x dydx) + arctan(2 y) + x cdot 21 + 4 y^2 dydx = 0

Passo 6

Nos próximos passos, vamos isolar dydx. Primeiro, distribuímos o cos(x y + 47):
cos(x y + 47) cdot y + cos(x y + 47) cdot x dydx + arctan(2 y) + x cdot 21 + 4 y^2 dydx = 0
Agrupando os termos com dydx:
( cos(x y + 47) cdot x + x cdot 21 + 4 y^2 ) dydx = - ( cos(x y + 47) cdot y + arctan(2 y) )

Passo 7

Agora, isolamos dydx:
dydx = - ( cos(x y + 47) cdot y + arctan(2 y) ) cos(x y + 47) cdot x + x cdot 21 + 4 y^2

Resposta

dydx = - ( cos(x y + 47) cdot y + arctan(2 y) ) x cos(x y + 47) + 2 x1 + 4 y^2

Exercícios relacionados