Use a derivação implícita para determinar
nas seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita! A gente tem a função
e precisamos achar
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando
está misturado com
na equação. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar os dois lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em ambas as partes:
Passo 3
Vamos começar com a derivada do lado esquerdo,
. Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Então:
Sabemos que
e que
(usando a regra da cadeia). Portanto:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito,
. Para isso, usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de
é
, onde
. Então:
Passo 5
Agora que temos as derivadas dos dois lados, colocamos tudo junto:
Passo 6
Nosso objetivo é isolar
. Vamos distribuir o
no lado direito:
Passo 7
Agora, vamos trazer todos os termos com
para um lado e os demais para o outro:
Passo 8
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
é igual a
.