Use a derivação implícita para determinar d yd x nas seguintes funções
x cos y=e^x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita! A gente tem a função x cos y = e^x+y e precisamos achar dydx. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando y está misturado com x na equação. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar os dois lados da equação em relação a x. Isso significa que vamos aplicar a derivada em ambas as partes:
ddx(x cos y) = ddx(e^x+y)

Passo 3

Vamos começar com a derivada do lado esquerdo, x cos y. Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v'. Então:
ddx(x cos y) = ddx(x) cdot cos y + x cdot ddx(cos y)
Sabemos que ddx(x) = 1 e que ddx(cos y) = -sin y cdot dydx (usando a regra da cadeia). Portanto:
1 cdot cos y + x cdot (-sin y cdot dydx) = cos y - x sin y cdot dydx

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito, e^x+y. Para isso, usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de e^u é e^u cdot dudx, onde u = x + y. Então:
ddx(e^x+y) = e^x+y cdot (1 + dydx)

Passo 5

Agora que temos as derivadas dos dois lados, colocamos tudo junto:
cos y - x sin y cdot dydx = e^x+y cdot (1 + dydx)

Passo 6

Nosso objetivo é isolar dydx. Vamos distribuir o e^x+y no lado direito:
cos y - x sin y cdot dydx = e^x+y + e^x+y cdot dydx

Passo 7

Agora, vamos trazer todos os termos com dydx para um lado e os demais para o outro:
-x sin y cdot dydx - e^x+y cdot dydx = e^x+y - cos y

Passo 8

Fatorando dydx do lado esquerdo:
dydx cdot (-x sin y - e^x+y) = e^x+y - cos y

Passo 9

Finalmente, isolamos dydx:
dydx = e^x+y - cos y-x sin y - e^x+y = cos y - e^x+yx sin y + e^x+y

Resposta

A derivada dydx é igual a cos y - e^x+yx sin y + e^x+y.

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