Use a derivação implícita para determinar d yd x nas seguintes funções
x sen y-y cos x=pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
xsin y ;-; ycos x ;=;pi2
e pede dydx. O conteúdo é derivação implícita, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, lembrando que y=y(x):
– Para xsin y aplicamos regra do produto:
ddx(xsin y)=1cdotsin y + xcdot(cos y),dydx
– Para -ycos x também usamos produto:
ddx(-ycos x) =-l(dydxcdotcos x + ycdot(-sin x)r) =-dydxcos x + ysin x
O lado direito, pi/2, é constante e gera zero.

Passo 3

Somando as derivadas e igualando a zero, obtemos
sin y + xcos y,dydx -dydxcos x + ysin x = 0
Agora agrupamos os termos com dydx:
l(xcos y - cos xr)dydx + sin y + ysin x = 0

Passo 4

Isolando dydx:
l(xcos y - cos xr)dydx = -l(sin y + ysin xr) Longrightarrow dydx = -,sin y + ysin xxcos y - cos x

Resposta

dydx = -sin y + ysin xxcos y - cos x

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