Use a derivação implícita para determinar d yd x nas seguintes funções
ln y-cos (x+y)=2

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
ln y ;-;cos(x+y)=2
e pede dfracdydx. Vamos usar derivação implícita, isto é, derivar ambos os lados em relação a x lembrando que y é função de x.

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a x:
ddxl(ln yr);-;ddxl(cos(x+y)r) =ddx(2)
Agora,
ddx(ln y) =1y,dydx,
ddxl(cos(x+y)r) =-sin(x+y),ddx(x+y) =-sin(x+y)l(1+dydxr),
e dfracddx(2)=0.

Passo 3

Substituindo na derivada total:
1y,dydx -l[-sin(x+y)l(1+tfracdydxr)r] =0 Longrightarrow 1yy' + sin(x+y)l(1+y'r)=0,
onde escrevemos y'=dfracdydx.

Passo 4

Distribuindo e agrupando os termos que contêm y':
1yy' + sin(x+y),y' + sin(x+y)=0 Longrightarrow y'l(tfrac1y+sin(x+y)r)+sin(x+y)=0

Passo 5

Isolando y':
y'l(tfrac1y+sin(x+y)r) =-sin(x+y) Longrightarrow y' =-sin(x+y)dfrac1y+sin(x+y)

Resposta

dydx =-sin(x+y)dfrac1y+sin(x+y)

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