Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da equação dada no ponto indicado:
x^2+x arctg y=4,(2,0)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função dada pela equação x^2 + x arctan y = 4 no ponto (2,0). Aqui a matéria envolve derivadas, especificamente diferenciação implícita, já que a equação está numa forma que relaciona x e y de maneira não explícita. A gente vai precisar calcular a derivada de y em relação a x para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a diferenciação implícita para encontrar dydx. A diferenciação implícita é uma técnica usada quando y não está isolada, e precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a x.
Diferenciando ambos os lados de x^2 + x arctan y = 4 em relação a x:
ddx(x^2) + ddx(x arctan y) = ddx(4)
Calculando cada termo:
2x + ( arctan y + x cdot 11 + y^2 cdot dydx ) = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver para dydx. Primeiro, reorganizamos a equação:
2x + arctan y + x1 + y^2 cdot dydx = 0
Isolando o termo que envolve dydx:
x1 + y^2 cdot dydx = -2x - arctan y
Então, dividindo ambos os lados por x1 + y^2:
dydx = ( -2x - arctan y ) cdot 1 + y^2x

Passo 4

Agora, vamos avaliar dydx no ponto dado (2,0). Substituindo x = 2 e y = 0:
dydx = ( -2(2) - arctan 0 ) cdot 1 + 0^22 = (-4 - 0) cdot 12 = -4 cdot 12 = -2
Então, a inclinação da reta tangente é -2.

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (2,0) é:
y = -2x + 4

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