Use a derivação implícita para determinar d yd x nas seguintes funções
x ln (cos y)-x y^2=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
x ln(cos y) ;-; x y^2 ;=; 4
e pede dydx. O conteúdo é derivação implícita: vamos aplicar a regra do produto, a regra da cadeia e depois isolar dydx.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Para o termo x ln(cos y) usamos a regra do produto e, dentro dela, a cadeia em ln(cos y):
ddxl(x ln(cos y)r) =1cdot ln(cos y) + xcdot ddxln(cos y) = ln(cos y) + xcdot 1cos ycdot(-sin y)cdotdydx = ln(cos y) - x,tan y,dydx
Para o termo -x y^2 também usamos produto e cadeia em y^2:
ddxl(-x y^2r) =-1cdot y^2 - xcdot 2y,dydx = -y^2 -2x y,dydx
A derivada de 4 é zero. Somando tudo, obtemos
ln(cos y) - xtan y,dydx - y^2 -2x y,dydx =0

Passo 3

Agora agrupamos os termos que contêm dydx e os que não contêm:
l(- xtan y -2x yr)dydx ;+;l(ln(cos y)-y^2r) =0
Passamos o termo sem dydx para o outro lado:
l(- xtan y -2x yr)dydx = -l(ln(cos y)-y^2r) = y^2-ln(cos y)

Passo 4

Finalmente isolamos dydx:
dydx = y^2-ln(cos y)-,xl(tan y+2yr) = ln(cos y)-y^2xl(tan y+2yr)

Resposta

dydx = ln(cos y)-y^2xl(tan y+2yr)

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