Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da equação dada no ponto indicado:
x 3^y-y-7 x=0,(1,2)

Passo 1

A gente tem a curva implícita x,3^y - y - 7x = 0 e quer a reta tangente no ponto (1,2). Para isso, vamos usar diferenciação implícita para achar dydx, que é a inclinação da reta, e depois montar a equação na forma ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0).

Passo 2

Derivando implicitamente em relação a x, usamos a regra do produto em x,3^y e a regra da cadeia em 3^y. Temos:
ddx(x,3^y)=1cdot3^y + xcdot3^yln3dydx,
além de
ddx(-y)=-dydx,
e
ddx(-7x)=-7

Passo 3

Somando tudo dá
3^y + x,3^yln3dydx - dydx - 7 = 0

Passo 4

Agora agrupamos os termos com dydx e isolamos:
dydxl(x,3^yln3 - 1r) + 3^y - 7 = 0
dydx = 7 - 3^yx,3^yln3 - 1

Passo 5

Substituindo o ponto (1,2), com 3^2 = 9,
dydx|(1,2) = 7 - 91cdot9ln3 - 1 = -29ln3 - 1 Então a inclinação da reta tangente é m = -29ln3 - 1.

Passo 6

Por fim, escrevemos a reta na forma ponto-inclinação:
y - 2 = -29ln3 - 1(x - 1)

Resposta

y - 2 = \frac{-2}{9\ln3 - 1}(x - 1)

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