Use derivação implícita para encontrar
e
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $ usando derivação implícita. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente nas derivadas parciais e na técnica de diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções que estão misturadas assim, sem isolar uma das variáveis facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Como $ z $ é uma função de $ x $ e $ y $, queremos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 3
Vamos começar encontrando $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a $ x $:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 4
Agora, precisamos isolar $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Vamos trazer todos os termos que contêm $ \frac{\partial z}{\partial x} $ para um lado da equação:
Fatorando $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Passo 5
Finalmente, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Diferenciando ambos os lados da equação original em relação a $ y $:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 7
Vamos isolar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Primeiro, trazemos todos os termos com $ \frac{\partial z}{\partial y} $ para um lado:
Fatorando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 8
Finalmente, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Resposta
As derivadas parciais são: