Use derivação implícita para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y onde
e^z=x y z+pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $ usando derivação implícita. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente nas derivadas parciais e na técnica de diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções que estão misturadas assim, sem isolar uma das variáveis facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
e^z = x y z + pi
Como $ z $ é uma função de $ x $ e $ y $, queremos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 3

Vamos começar encontrando $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a $ x $:
partial zpartial x
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
x

Passo 4

Agora, precisamos isolar $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Vamos trazer todos os termos que contêm $ \frac{\partial z}{\partial x} $ para um lado da equação:
partial zpartial x
Fatorando $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partial zpartial x

Passo 5

Finalmente, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partial zpartial x

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Diferenciando ambos os lados da equação original em relação a $ y $:
partial zpartial y
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
y

Passo 7

Vamos isolar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Primeiro, trazemos todos os termos com $ \frac{\partial z}{\partial y} $ para um lado:
partial zpartial y
Fatorando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y

Passo 8

Finalmente, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = y ze^z - x y e partial zpartial y = x ze^z - x y

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