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usando primeiro propriedades algébricas da função logaritmo natural.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Temos a função
- O objetivo é encontrar
.
Informações relevantes que o enunciado fornece (úteis para resolver):
- A expressão dentro do
é um quociente de produtos com potências: um numerador e um denominador . - A função
admite propriedades algébricas que transformam produto/quociente/potência em soma/subtração/multiplicação por escalares — isso é exatamente o que o enunciado pede para usar antes de derivar.
Passo 2
Relembrando as propriedades algébricas do logaritmo natural que vamos usar (com explicação curta e intuitiva).
- Produto: para quaisquer
e ,
Isto vem da definição de logaritmo: log transforma produto em soma.
- Quociente: para
e ,
É a mesma ideia: log transforma divisão em subtração.
- Potência: para
e qualquer real ,
O expoente sai como fator porque
é o inverso da função exponencial.
Observação sobre domínio (para não tropeçar na prova): cada fator como
precisa ser tal que a expressão dentro do
seja positiva. Não é necessário detalhar todas as condições aqui para derivar, mas é bom lembrar que não podemos avaliar a função em pontos que façam o argumento do
.
Passo 3
Aplicando as propriedades do passo anterior diretamente à função dada, para simplificar antes de derivar.
Começo transformando o
do quociente em diferença de
's e aplicando as potências:
Agora uso que
do produto é soma e que expoentes saem:
Aplicando a propriedade da potência:
Explicando o ganho: agora
é soma e subtração de termos simples
multiplicados por constantes, o que facilita totalmente a diferenciação termo a termo.
Passo 4
Regras de derivação que vamos usar (com explicação curta):
- Derivada de uma soma é soma das derivadas; de um múltiplo por constante
é vezes a derivada do termo. - Derivada da função
pela regra da cadeia: se então
Aqui
é qualquer função diferenciável positiva;
é a derivada de
.
- No caso especial
(função linear), tem-se , então
Agora aplico tudo termo a termo à expressão obtida no passo anterior:
Derivando cada termo:
Somando as derivadas:
Passo 5
(Observação extra — forma alternativa única em fração comum, opcional)
Se quiser juntar tudo em uma única fração pode-se usar o denominador comum , mas isso torna a expressão bem maior e normalmente desnecessário na prova. A forma soma de frações simples é mais limpa e direta para interpretação e verificação.
Se quiser juntar tudo em uma única fração pode-se usar o denominador comum