Encontre d y / d x usando primeiro propriedades algébricas da função logaritmo natural.
y=\ln \left(\frac{(x+1)(x+2)^{2}}{(x+3)^{3}(x+4)^{4}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Temos a função
y=\ln\!\left(\frac{(x+1)(x+2)^{2}}{(x+3)^{3}(x+4)^{4}}\right).
  • O objetivo é encontrar \dfrac{d y}{d x}.
Informações relevantes que o enunciado fornece (úteis para resolver):
  • A expressão dentro do \ln é um quociente de produtos com potências: um numerador (x+1)(x+2)^2 e um denominador (x+3)^3(x+4)^4.
  • A função \ln admite propriedades algébricas que transformam produto/quociente/potência em soma/subtração/multiplicação por escalares — isso é exatamente o que o enunciado pede para usar antes de derivar.

Passo 2

Relembrando as propriedades algébricas do logaritmo natural que vamos usar (com explicação curta e intuitiva).
  • Produto: para quaisquer a>0 e b>0,
\ln(ab)=\ln a+\ln b.
Isto vem da definição de logaritmo: log transforma produto em soma.
  • Quociente: para a>0 e b>0,
\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b.
É a mesma ideia: log transforma divisão em subtração.
  • Potência: para a>0 e qualquer real k,
\ln(a^{k})=k\,\ln a.
O expoente sai como fator porque \ln é o inverso da função exponencial.
Observação sobre domínio (para não tropeçar na prova): cada fator como x+1, x+2, x+3, x+4 precisa ser tal que a expressão dentro do \ln seja positiva. Não é necessário detalhar todas as condições aqui para derivar, mas é bom lembrar que não podemos avaliar a função em pontos que façam o argumento do \ln \leq 0.

Passo 3

Aplicando as propriedades do passo anterior diretamente à função dada, para simplificar antes de derivar.
Começo transformando o \ln do quociente em diferença de \ln's e aplicando as potências:
y=\ln\!\left(\frac{(x+1)(x+2)^{2}}{(x+3)^{3}(x+4)^{4}}\right) =\ln\big((x+1)(x+2)^{2}\big)-\ln\big((x+3)^{3}(x+4)^{4}\big).
Agora uso que \ln do produto é soma e que expoentes saem:
y=\big(\ln(x+1)+\ln((x+2)^{2})\big)-\big(\ln((x+3)^{3})+\ln((x+4)^{4})\big).
Aplicando a propriedade da potência:
y=\ln(x+1)+2\ln(x+2)-3\ln(x+3)-4\ln(x+4).
Explicando o ganho: agora y é soma e subtração de termos simples \ln(x+a) multiplicados por constantes, o que facilita totalmente a diferenciação termo a termo.

Passo 4

Regras de derivação que vamos usar (com explicação curta):
  • Derivada de uma soma é soma das derivadas; de um múltiplo por constante c é c vezes a derivada do termo.
  • Derivada da função \ln(u(x)) pela regra da cadeia: se y=\ln(u(x)) então
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é qualquer função diferenciável positiva; u'(x) é a derivada de u.
  • No caso especial u(x)=x+a (função linear), tem-se u'(x)=1, então
\frac{d}{dx}\ln(x+a)=\frac{1}{x+a}.
Agora aplico tudo termo a termo à expressão obtida no passo anterior:
y=\ln(x+1)+2\ln(x+2)-3\ln(x+3)-4\ln(x+4).
Derivando cada termo:
  • \dfrac{d}{dx}\ln(x+1)=\dfrac{1}{x+1}.
  • \dfrac{d}{dx}\big(2\ln(x+2)\big)=2\cdot\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{2}{x+2}.
  • \dfrac{d}{dx}\big(-3\ln(x+3)\big)=-3\cdot\dfrac{1}{x+3}=-\dfrac{3}{x+3}.
  • \dfrac{d}{dx}\big(-4\ln(x+4)\big)=-4\cdot\dfrac{1}{x+4}=-\dfrac{4}{x+4}.
Somando as derivadas:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x+3}-\frac{4}{x+4}.

Passo 5

(Observação extra — forma alternativa única em fração comum, opcional)
Se quiser juntar tudo em uma única fração pode-se usar o denominador comum (x+1)(x+2)(x+3)(x+4), mas isso torna a expressão bem maior e normalmente desnecessário na prova. A forma soma de frações simples é mais limpa e direta para interpretação e verificação.

Resposta

\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x+3}-\frac{4}{x+4}

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