Questāo 5

Ainda nāo respondida
Vale 0,50 ponto(s).
Marcar questāo
Calculando \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(e^{3 x}+1\right)^{1 / x}, obtemos:
Escolha uma opção:
◯ a. 0
◯ b. 1
◯ c. 3
◯ d. e
◯ e. e^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(e^{3x}+1\bigr)^{1/x}.
  • Informação dada: a função dentro do limite é \bigl(e^{3x}+1\bigr)^{1/x} e a variável x tende para +\infty.
  • Observação útil (apenas identificação): a base e^{3x}+1 é positiva para todo x (pois e^{3x}>0).

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicada passo a passo, sem assumir que você já conhece): quando temos um limite do tipo f(x)^{g(x)} com f(x)>0, é muito eficiente tomar o logaritmo natural. Isso transforma a potência em produto e facilita o cálculo:
y=f(x)^{g(x)}\quad\Rightarrow\quad \ln y = g(x)\,\ln f(x).
Se \lim \ln y = L existir, então pela continuidade da exponencial temos \lim y = e^{L}. Vou aplicar isso aqui com f(x)=e^{3x}+1 e g(x)=1/x.

Passo 3

Defino a variável que vou analisar:
y=\bigl(e^{3x}+1\bigr)^{1/x}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
\ln y=\frac{1}{x}\,\ln\bigl(e^{3x}+1\bigr).
Explico: \ln é o logaritmo natural; a operação é válida porque a base é positiva.

Passo 4

Simplifico a expressão dentro do logaritmo usando propriedades de logaritmos. Lembrando que \ln(ab)=\ln a+\ln b e que \ln(e^{3x})=3x, escrevo:
\ln\bigl(e^{3x}+1\bigr)=\ln\!\bigl(e^{3x}(1+e^{-3x})\bigr) =\ln(e^{3x})+\ln(1+e^{-3x}) =3x+\ln(1+e^{-3x}).
Explanação: factorizei e^{3x} de e^{3x}+1, ficando e^{3x}(1+e^{-3x}); isso é legítimo porque e^{3x}>0.

Passo 5

Substituo essa expressão em \ln y:
\ln y=\frac{1}{x}\bigl(3x+\ln(1+e^{-3x})\bigr) =3+\frac{1}{x}\ln(1+e^{-3x}).
Agora preciso calcular o limite quando x\to+\infty do segundo termo \dfrac{1}{x}\ln(1+e^{-3x}).
Razoamento sobre esse termo:
  • Quando x\to+\infty temos e^{-3x}\to 0.
  • Para u> -1 vale a desigualdade \ln(1+u)\le u. Aqui u=e^{-3x}>0, logo 0<\ln(1+e^{-3x})\le e^{-3x}.
  • Assim
0\le \frac{1}{x}\ln(1+e^{-3x})\le \frac{e^{-3x}}{x}.
  • O termo à direita \dfrac{e^{-3x}}{x} tende a 0 quando x\to+\infty (exponencial decai muito mais rápido que qualquer potência). Pelo Teorema do Confronto (squeeze), segue que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\ln(1+e^{-3x})=0.

Passo 6

Com o resultado do passo anterior, obtenho o limite de \ln y:
\lim_{x\to+\infty}\ln y = \lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{1}{x}\ln(1+e^{-3x})\right)=3+0=3.
Como a exponencial é contínua, isso implica
\lim_{x\to+\infty} y = \lim_{x\to+\infty} \bigl(e^{3x}+1\bigr)^{1/x} = e^{\,\lim \ln y}=e^{3}.

Resposta

e^{3}

Exercícios relacionados