Questāo 5
Ainda nāo respondida
Vale 0,50 ponto(s).
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Calculando
, obtemos:
Escolha uma opção:
◯ a. 0
◯ b. 1
◯ c. 3
◯ d.
◯ e.
Vale 0,50 ponto(s).
◯ a. 0
◯ b. 1
◯ c. 3
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede calcular o limite
. - Informação dada: a função dentro do limite é
e a variável tende para . - Observação útil (apenas identificação): a base
é positiva para todo (pois ).
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicada passo a passo, sem assumir que você já conhece): quando temos um limite do tipo
com
, é muito eficiente tomar o logaritmo natural. Isso transforma a potência em produto e facilita o cálculo:
Se
existir, então pela continuidade da exponencial temos
. Vou aplicar isso aqui com
e
.
Passo 3
Defino a variável que vou analisar:
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Explico:
é o logaritmo natural; a operação é válida porque a base é positiva.
Passo 4
Simplifico a expressão dentro do logaritmo usando propriedades de logaritmos. Lembrando que
e que
, escrevo:
Explanação: factorizei
de
, ficando
; isso é legítimo porque
.
Passo 5
Substituo essa expressão em
:
Agora preciso calcular o limite quando
do segundo termo
.
Razoamento sobre esse termo:
- Quando
temos . - Para
vale a desigualdade . Aqui , logo . - Assim
- O termo à direita
tende a quando (exponencial decai muito mais rápido que qualquer potência). Pelo Teorema do Confronto (squeeze), segue que
Passo 6
Com o resultado do passo anterior, obtenho o limite de
:
Como a exponencial é contínua, isso implica