Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função.
63 y=x^sen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = x^sin x usando derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Começamos aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar o expoente:
ln y = lnl(x^sin xr)
Como ln(a^b)=bln a, temos
ln y = sin x ,ln x

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia, e no direito, a regra do produto entre sin x e ln x:
1y,dydx = ddxl(sin xr),ln x + sin x,ddx(ln x)
Como ddx(sin x)=cos x e ddx(ln x)=tfrac1x, resulta
y'y = cos x,ln x + sin xcdot1x

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = yl(cos x,ln x + sin xxr)

Passo 5

Voltamos à expressão original y = x^sin x:
y' = x^sin xl(cos x,ln x + tfracsin xxr)

Resposta

y' = x^sin xl(cos x,ln x + sin xxr)

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