Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função.
64 y=(cos x)^x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = (cos x)^x
e pede sua derivada usando derivação logarítmica. O conteúdo envolvido é a diferenciação de funções em que tanto a base quanto o expoente variam; vamos usar propriedades de logaritmos e a regra da cadeia na diferenciação implícita.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência:
ln(y) = lnl((cos x)^xr)
Pela propriedade ln(a^b) = b,ln(a), isso vira
ln(y) = x,ln(cos x)

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, usamos derivação implícita:
ddxl[ln(y)r] = y'y
No lado direito, aplicamos a regra do produto em x,ln(cos x):
ddxl[x,ln(cos x)r] = 1cdotln(cos x) + xcdotddxl[ln(cos x)r]
E como ddx[ln(cos x)] = -sin xcos x, temos
ddxl[x,ln(cos x)r] = ln(cos x) + xcdotl(-tfracsin xcos xr)

Passo 4

Igualando as duas derivadas:
y'y = ln(cos x) - x,sin xcos x
Multiplicamos ambos os lados por y para isolar y':
y' = yl(ln(cos x) - x,sin xcos xr)

Passo 5

Por fim, substituímos y = (cos x)^x de volta na expressão:
y' = (cos x)^x,l(ln(cos x) - xtan xr)

Resposta

y' = (cos x)^x,l(ln(cos x) - xtan xr)

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