Suponha que um carro está se movendo em linha reta e sua posição é dada em função do tempo (em segundos) por
f(t)=10 t^{2}-5 t \text { metros. }
Calcule:
(a) a velocidade média durante o intervalo de tempo 1 \leq t \leq 2;
(b) a velocidade instantânea em t=\frac{3}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a posição de um carro em função do tempo
f(t)=10\,t^{2}-5\,t
em metros, e pede (a) a velocidade média no intervalo 1\le t\le2 e (b) a velocidade instantânea em t=\tfrac32. Vamos usar a definição de velocidade média e a derivada de f para obter a velocidade instantânea.

Passo 2

A velocidade média em [1,2] é definida por
v_{\text{méd}}=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}.é
Calculando:
f(2)=10\cdot2^{2}-5\cdot2=40-10=30,
f(1)=10\cdot1^{2}-5\cdot1=10-5=5,
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v_{\text{méd}}=\frac{30-5}{1}=25\\ \text{m/s}.é

Passo 3

Para obter a velocidade instantânea usamos a derivada
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(10\,t^{2}-5\,t\bigr)=20\,t-5.

Passo 4

Avalia-mos f' em t=\tfrac32:
v\bigl(\tfrac32\bigr)=20\cdot\frac32-5=30-5=25\\ \text{m/s}.

Resposta

(a) 25 m/s
(b) 25 m/s

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