Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
f)
f)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
. Informações importantes que o enunciado fornece (ou que precisamos observar):
- A função envolve uma base
elevada a um expoente . - Para a escrita usual de potências reais
com usarmos , precisamos que a base seja positiva; portanto devemos considerar em intervalos onde . - Além disso,
, , e aparecem na fórmula e nas derivadas, então devemos também evitar pontos onde ou (ou seja, evitar os pontos de descontinuidade de e ). - O que se pede: calcular
, a derivada de para no domínio válido.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): quando a função é uma potência onde tanto a base quanto o expoente dependem de
, é muito prático aplicar logaritmo natural em ambos os lados e usar diferenciação logarítmica. A ideia é transformar a potência numa multiplicação, porque é mais fácil derivar produtos do que potências com expoente variável.
Seja
. Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Aqui usei a identidade
. Note que isso é legítimo enquanto
.
Passo 3
Agora vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia para
: a derivada de
é
(porque
). No lado direito precisamos aplicar a regra do produto, já que
e
dependem de
. Assim:
Passo 4
Calculemos
. Uma forma direta é lembrar que
e usar a regra do quociente:
Portanto
Passo 5
Agora calculemos
. Pela regra da cadeia para
temos
. Aqui
e
. Logo
Podemos simplificar esse quociente:
e
, então
Outra forma de escrever é
.
Passo 6
Substituindo as derivadas obtidas no Passo 3, obtemos:
Essa é a expressão para
. Agora vamos simplificar o segundo termo para ficar mais limpo.
Passo 7
Simplificação do segundo termo:
. Então
Portanto a soma fica
Passo 8
Fatorando
na expressão acima:
Agora multiplicamos ambos os lados por
para obter
. Lembre-se que
.
Passo 9
Concluímos:
Essa é a derivada simplificada. Lembrete final: essa fórmula vale nos pontos onde
(para que
exista em
) e onde
e
não são zero (para que
,
,
estejam bem definidos).