Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
f) f(x)=(\tan x)^{\cot x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=(\tan x)^{\cot x}
e pede para calcular a derivada de f. Informações importantes que o enunciado fornece (ou que precisamos observar):
  • A função envolve uma base \tan x elevada a um expoente \cot x.
  • Para a escrita usual de potências reais a^b com b\in\mathbb{R} usarmos \ln, precisamos que a base seja positiva; portanto devemos considerar x em intervalos onde \tan x>0.
  • Além disso, \tan x, \cot x, \sin x e \cos x aparecem na fórmula e nas derivadas, então devemos também evitar pontos onde \sin x=0 ou \cos x=0 (ou seja, evitar os pontos de descontinuidade de \tan e \cot).
  • O que se pede: calcular f'(x), a derivada de f para x no domínio válido.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): quando a função é uma potência onde tanto a base quanto o expoente dependem de x, é muito prático aplicar logaritmo natural em ambos os lados e usar diferenciação logarítmica. A ideia é transformar a potência numa multiplicação, porque é mais fácil derivar produtos do que potências com expoente variável.
Seja y=f(x). Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
y=(\tan x)^{\cot x}\quad\Rightarrow\quad \ln y = \cot x\cdot \ln(\tan x).
Aqui usei a identidade \ln(a^b)=b\ln a. Note que isso é legítimo enquanto \tan x>0.

Passo 3

Agora vamos diferenciar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia para \ln y: a derivada de \ln y é y'/y (porque \frac{d}{dx}\ln(y(x))=\frac{y'(x)}{y(x)}). No lado direito precisamos aplicar a regra do produto, já que \cot x e \ln(\tan x) dependem de x. Assim:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\big(\cot x\big)\cdot \ln(\tan x) + \cot x\cdot \frac{d}{dx}\big(\ln(\tan x)\big).

Passo 4

Calculemos \dfrac{d}{dx}\big(\cot x\big). Uma forma direta é lembrar que \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e usar a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\big(\cot x\big)=\frac{-\sin x\cdot\sin x - \cos x\cdot\cos x}{\sin^2 x} =\frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x}=-\frac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(\cot x\big)=-\csc^2 x.

Passo 5

Agora calculemos \dfrac{d}{dx}\big(\ln(\tan x)\big). Pela regra da cadeia para \ln(u) temos \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}. Aqui u=\tan x e u'=\operatorname{sec}^2 x. Logo
\frac{d}{dx}\big(\ln(\tan x)\big)=\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}.
Podemos simplificar esse quociente: \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x} e \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, então
\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}=\frac{1/\cos^2 x}{\sin x/\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.
Outra forma de escrever é \dfrac{d}{dx}\ln(\tan x)=\dfrac{1}{\sin x\cos x}.

Passo 6

Substituindo as derivadas obtidas no Passo 3, obtemos:
\frac{y'}{y} = \big(-\csc^2 x\big)\cdot \ln(\tan x) + \cot x\cdot \frac{1}{\sin x\cos x}.
Essa é a expressão para y'/y. Agora vamos simplificar o segundo termo para ficar mais limpo.

Passo 7

Simplificação do segundo termo: \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Então
\cot x\cdot \frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin^2 x}=\csc^2 x.
Portanto a soma fica
\frac{y'}{y} = -\csc^2 x\cdot \ln(\tan x) + \csc^2 x.

Passo 8

Fatorando \csc^2 x na expressão acima:
\frac{y'}{y} = \csc^2 x\big(1 - \ln(\tan x)\big).
Agora multiplicamos ambos os lados por y para obter y'. Lembre-se que y=(\tan x)^{\cot x}.

Passo 9

Concluímos:
y' = (\tan x)^{\cot x}\cdot \csc^2 x\big(1 - \ln(\tan x)\big).
Essa é a derivada simplificada. Lembrete final: essa fórmula vale nos pontos onde \tan x>0 (para que \ln(\tan x) exista em \mathbb{R}) e onde \sin x e \cos x não são zero (para que \cot, \csc, \operatorname{sec} estejam bem definidos).

Resposta

f'(x)=(\tan x)^{\cot x}\,\csc^2 x\big(1-\ln(\tan x)\big)

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