Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
s)
’
s)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo usando derivação logarítmica:
Informações relevantes dadas:
A tarefa é obter
. Não há outras informações explícitas; devemos aplicar a derivação logarítmica conforme pedido.
Passo 2
Ideia da derivação logarítmica (mini-aula): quando uma função é produto/quociente de potências com expoentes que dependem de
, é muito prático tomar logaritmo natural dos dois lados. Usamos as propriedades do logaritmo:
Além disso, ao derivar implicitamente, lembramos que
Então o procedimento é: tomar
de
, simplificar com as regras acima, derivar ambos os lados e resolver para
.
Passo 3
Aplicando
em
e usando as propriedades do logaritmo, obtemos
Usando
em cada termo:
Passo 4
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo:
No lado direito derivamos termo a termo; vou fazer cada derivada explicando:
-
Para
: produto de por . Usando . -
Para
: é produto por . Derivada:
E
. Logo
-
Para
(do ): . -
Para
: é negativo do produto . Primeiro . E
então
Como havia sinal negativo, o termo derivado contribui com
- Para
(do ): derivada é .
Somando todos esses resultados, obtemos a expressão para
:
Passo 5
Vamos simplificar a soma dos termos constantes e reescrever de forma limpa. Somando os termos constantes
e
obtemos
. Assim:
Agora isolamos
multiplicando ambos os lados por
. Substituindo
pela expressão original:
Passo 6
Finalmente, substituindo explicitamente
, obtemos a derivada final: