Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
s) f(x)=\frac{x^{x} \cdot\left(x^{3}+1\right)^{2 x} \cdot e^{x}}{\left(x^{2}+1\right)^{x^{2}} \cdot e^{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo usando derivação logarítmica:
f(x)=\frac{x^{x}\cdot\left(x^{3}+1\right)^{2x}\cdot e^{x}}{\left(x^{2}+1\right)^{x^{2}}\cdot e^{x^{2}}}.
Informações relevantes dadas:
\text{Função: }f(x)=\frac{x^{x}\,(x^{3}+1)^{2x}\,e^{x}}{(x^{2}+1)^{x^{2}}\,e^{x^{2}}}.çã
A tarefa é obter f'(x). Não há outras informações explícitas; devemos aplicar a derivação logarítmica conforme pedido.

Passo 2

Ideia da derivação logarítmica (mini-aula): quando uma função é produto/quociente de potências com expoentes que dependem de x, é muito prático tomar logaritmo natural dos dois lados. Usamos as propriedades do logaritmo:
\ln(AB)=\ln A+\ln B,\qquad \ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B,\qquad \ln(A^{g(x)})=g(x)\ln A.
Além disso, ao derivar implicitamente, lembramos que
\frac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big)=\frac{f'(x)}{f(x)}.
Então o procedimento é: tomar \ln de f(x), simplificar com as regras acima, derivar ambos os lados e resolver para f'(x).

Passo 3

Aplicando \ln em f(x) e usando as propriedades do logaritmo, obtemos
\ln f(x)=\ln\big(x^{x}\big)+\ln\big((x^{3}+1)^{2x}\big)+\ln\big(e^{x}\big)-\ln\big((x^{2}+1)^{x^{2}}\big)-\ln\big(e^{x^{2}}\big).
Usando \ln(A^{h})=h\ln A em cada termo:
\ln f(x)=x\ln x + 2x\ln(x^{3}+1) + x - x^{2}\ln(x^{2}+1) - x^{2}.

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big)=\frac{f'(x)}{f(x)}.
No lado direito derivamos termo a termo; vou fazer cada derivada explicando:
  1. Para x\ln x: produto de x por \ln x. Usando \frac{d}{dx}(x\ln x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
  2. Para 2x\ln(x^{3}+1): é produto 2x por \ln(x^{3}+1). Derivada:
\frac{d}{dx}\big(2x\ln(x^{3}+1)\big)=2\ln(x^{3}+1)+2x\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(x^{3}+1)\big).
E \displaystyle\frac{d}{dx}\big(\ln(x^{3}+1)\big)=\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}. Logo
\frac{d}{dx}\big(2x\ln(x^{3}+1)\big)=2\ln(x^{3}+1)+2x\cdot\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}=2\ln(x^{3}+1)+\frac{6x^{3}}{x^{3}+1}.
  1. Para x (do \ln(e^{x})): \frac{d}{dx}(x)=1.
  2. Para -x^{2}\ln(x^{2}+1): é negativo do produto x^{2}\ln(x^{2}+1). Primeiro \frac{d}{dx}\big(x^{2}\ln(x^{2}+1)\big)=2x\ln(x^{2}+1)+x^{2}\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(x^{2}+1)\big). E
\frac{d}{dx}\big(\ln(x^{2}+1)\big)=\frac{2x}{x^{2}+1},
então
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\ln(x^{2}+1)\big)=2x\ln(x^{2}+1)+x^{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=2x\ln(x^{2}+1)+\frac{2x^{3}}{x^{2}+1}.
Como havia sinal negativo, o termo derivado contribui com
-2x\ln(x^{2}+1)-\frac{2x^{3}}{x^{2}+1}.
  1. Para -x^{2} (do -\ln(e^{x^{2}})): derivada é -2x.
Somando todos esses resultados, obtemos a expressão para \dfrac{f'(x)}{f(x)}:
\frac{f'(x)}{f(x)}=\big(\ln x + 1\big)+\Big(2\ln(x^{3}+1)+\frac{6x^{3}}{x^{3}+1}\Big)+1-\Big(2x\ln(x^{2}+1)+\frac{2x^{3}}{x^{2}+1}\Big)-2x.

Passo 5

Vamos simplificar a soma dos termos constantes e reescrever de forma limpa. Somando os termos constantes +1 e +1 obtemos +2. Assim:
\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln x + 2\ln(x^{3}+1) + \frac{6x^{3}}{x^{3}+1} - 2x\ln(x^{2}+1) - \frac{2x^{3}}{x^{2}+1} + 2 - 2x.
Agora isolamos f'(x) multiplicando ambos os lados por f(x). Substituindo f(x) pela expressão original:
f'(x)=f(x)\Bigg(\ln x + 2\ln(x^{3}+1) + \frac{6x^{3}}{x^{3}+1} - 2x\ln(x^{2}+1) - \frac{2x^{3}}{x^{2}+1} + 2 - 2x\Bigg).

Passo 6

Finalmente, substituindo explicitamente f(x)=\dfrac{x^{x}\,(x^{3}+1)^{2x}\,e^{x}}{(x^{2}+1)^{x^{2}}\,e^{x^{2}}}, obtemos a derivada final:
f'(x)=\frac{x^{x}\,(x^{3}+1)^{2x}\,e^{x}}{(x^{2}+1)^{x^{2}}\,e^{x^{2}}}\left(\ln x + 2\ln(x^{3}+1) + \frac{6x^{3}}{x^{3}+1} - 2x\ln(x^{2}+1) - \frac{2x^{3}}{x^{2}+1} + 2 - 2x\right).

Resposta

f'(x)=\frac{x^{x}\,(x^{3}+1)^{2x}\,e^{x}}{(x^{2}+1)^{x^{2}}\,e^{x^{2}}}\!\left(\ln x + 2\ln(x^{3}+1) + \frac{6x^{3}}{x^{3}+1} - 2x\ln(x^{2}+1) - \frac{2x^{3}}{x^{2}+1} + 2 - 2x\right).

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