Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
m) f(x)=\left(x^{2}+3 x+5\right)^{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(x^{2}+3x+5\right)^{x^{3}}.
Informações dadas e observações imediatas:
\;x^{2}+3x+5 é um polinômio que tem discriminante 9-20=-11<0, logo \;x^{2}+3x+5>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto a função \;f está bem definida para todo x\in\mathbb{R} e podemos aplicar logaritmo natural sem problemas.
O que se pede: encontrar \;f'(x), a derivada de \;f.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vou usar): aqui a melhor ferramenta é a derivação logarítmica. A ideia é usar a propriedade do logaritmo que transforma potência em produto:
\ln\big(u(x)^{v(x)}\big)=v(x)\,\ln\big(u(x)\big),
desde que u(x)>0. Isso facilita porque ao tomar logaritmo passamos a lidar com um produto, e produtos são mais fáceis de diferenciar usando a regra do produto. Vamos aplicar isso à nossa f.

Passo 3

Tomando logaritmo natural dos dois lados (isso é permitido porque f(x)>0):
\ln f(x)=x^{3}\,\ln\big(x^{2}+3x+5\big).
Aqui usei a regra \ln(a^{b})=b\ln a. Agora vamos derivar implicitamente ambos os lados em relação a x.

Passo 4

Regra usada para derivar o lado esquerdo: derivada de \ln f(x) é \dfrac{f'(x)}{f(x)} (regra da cadeia). Para o lado direito usamos a regra do produto. Definindo
g(x)=x^{2}+3x+5,\qquad g'(x)=2x+3,
temos a derivada do lado direito:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\ln g(x)\big)=3x^{2}\ln g(x)+x^{3}\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}.
Portanto, a igualdade das derivadas dá:
\frac{f'(x)}{f(x)}=3x^{2}\ln\big(x^{2}+3x+5\big)+x^{3}\cdot\frac{2x+3}{x^{2}+3x+5}.

Passo 5

Isolando f'(x) multiplicando ambos os lados por f(x):
f'(x)=f(x)\left(3x^{2}\ln\big(x^{2}+3x+5\big)+\frac{x^{3}(2x+3)}{x^{2}+3x+5}\right).
Agora substituí f(x) pela expressão original para deixar a resposta explícita.

Passo 6

Podemos escrever o resultado de forma limpa (e isto é útil na prova):
f'(x)=\left(x^{2}+3x+5\right)^{x^{3}}\left(3x^{2}\ln\big(x^{2}+3x+5\big)+\frac{x^{3}(2x+3)}{x^{2}+3x+5}\right).
Se quiser, dá para fatorar x^{2} dentro do parêntese, mas não é necessário — essa forma já é clara e correta.

Passo 7

Resumo do método geral (fica como dica para a prova): se \;f(x)=u(x)^{v(x)} com u(x)>0, então
f'(x)=u(x)^{v(x)}\left(v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}\right).
No nosso caso u(x)=x^{2}+3x+5 e v(x)=x^{3}, e aplicamos exatamente essa fórmula.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}+3x+5\right)^{x^{3}}\left(3x^{2}\ln\big(x^{2}+3x+5\big)+\frac{x^{3}(2x+3)}{x^{2}+3x+5}\right)

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