Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
m)
’
m)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações imediatas:
é um polinômio que tem discriminante
, logo
para todo
. Portanto a função
está bem definida para todo
e podemos aplicar logaritmo natural sem problemas.
O que se pede: encontrar , a derivada de
.
O que se pede: encontrar
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vou usar): aqui a melhor ferramenta é a derivação logarítmica. A ideia é usar a propriedade do logaritmo que transforma potência em produto:
desde que
. Isso facilita porque ao tomar logaritmo passamos a lidar com um produto, e produtos são mais fáceis de diferenciar usando a regra do produto. Vamos aplicar isso à nossa
.
Passo 3
Tomando logaritmo natural dos dois lados (isso é permitido porque
):
Aqui usei a regra
. Agora vamos derivar implicitamente ambos os lados em relação a
.
Passo 4
Regra usada para derivar o lado esquerdo: derivada de
é
(regra da cadeia). Para o lado direito usamos a regra do produto. Definindo
temos a derivada do lado direito:
Portanto, a igualdade das derivadas dá:
Passo 5
Isolando
multiplicando ambos os lados por
:
Agora substituí
pela expressão original para deixar a resposta explícita.
Passo 6
Podemos escrever o resultado de forma limpa (e isto é útil na prova):
Se quiser, dá para fatorar
dentro do parêntese, mas não é necessário — essa forma já é clara e correta.
Passo 7
Resumo do método geral (fica como dica para a prova): se
com
, então
No nosso caso
e
, e aplicamos exatamente essa fórmula.