Considere a função
f(x)=\frac{x^{2} \cdot e^{x^{2}+1} \cdot(x+2)}{(x+1) \cdot e^{x^{3}}}
a) Use derivação logarítmica para calcular f^{\prime}(x).
b) Determine a reta tangente à curva y=f(x) no ponto x=1.
Resposta do item b): y=\frac{5 e}{4} x+\frac{e}{4}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}\cdot e^{x^{2}+1}\cdot (x+2)}{(x+1)\cdot e^{x^{3}}}
e pede duas coisas:
  1. (item a) Usar derivação logarítmica para calcular f^{\prime}(x).
  2. (item b) Determinar a reta tangente à curva y=f(x) no ponto x=1.
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{função }f(x)\text{ fornecida acima; precisamos de }f'(x)\text{ e da reta tangente em }x=1.çã

Passo 2

Explicação do método (derivação logarítmica) de forma didática:
A derivação logarítmica consiste em tomar o logaritmo natural da função (quando possível) para transformar produtos e quocientes em somas e diferenças, o que simplifica a diferenciação. Se f(x) é uma função diferenciável e não nula, temos
\ln f(x)\quad\text{e ao derivar aplicamos}\quad\frac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big)=\frac{f'(x)}{f(x)}.
Ou seja, diferenciamos o lado direito (já simplificado por soma/ diferença) e, no final, isolamos f'(x) por
f'(x)=f(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big).
Aqui f(x) é a função dada e x é a variável independente. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Tomamos logaritmo natural de f(x). Primeiro simplifico mentalmente a expressão exponencial:
\frac{e^{x^{2}+1}}{e^{x^{3}}}=e^{x^{2}+1-x^{3}}.
Então podemos escrever
f(x)=x^{2}\cdot\frac{x+2}{x+1}\cdot e^{\,x^{2}+1-x^{3}}.
Agora aplico \ln em ambos os lados:
\ln f(x)=\ln\big(x^{2}\big)+\ln(x+2)-\ln(x+1)+\big(x^{2}+1-x^{3}\big).
Explico cada termo:
  • \ln\big(x^{2}\big) vem do fator x^{2}.
  • \ln(x+2) vem do fator (x+2).
  • -\ln(x+1) vem do divisor (x+1).
  • x^{2}+1-x^{3} é o expoente da função exponencial, e \ln\big(e^{\text{expoente}}\big)= o próprio expoente.
Também é útil reescrever \ln\big(x^{2}\big)=2\ln x (isso vale quando x\neq 0, mas tratamos simbolicamente).

Passo 4

Derivo ambos os lados em relação a x. Vou derivar termo a termo e explicar cada derivada:
  • Derivada de 2\ln x é 2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x} (regra: \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}).
  • Derivada de \ln(x+2) é \frac{1}{x+2} (regra: \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}, aqui u=x+2 e u'=1).
  • Derivada de -\ln(x+1) é -\frac{1}{x+1}.
  • Derivada de x^{2}+1-x^{3} é 2x-3x^{2} (regras básicas: \frac{d}{dx}x^{2}=2x, \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, constante some zero).
Somando tudo:
\frac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big)=\frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1}+2x-3x^{2}.

Passo 5

Usando a identidade \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big), obtemos
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1}+2x-3x^{2}.
Isolando f'(x),
f'(x)=f(x)\cdot\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1}+2x-3x^{2}\right).
Agora substituo a expressão original de f(x) para apresentar f'(x) explicitamente:
f'(x)=\frac{x^{2}\cdot e^{x^{2}+1}\cdot (x+2)}{(x+1)\cdot e^{x^{3}}}\cdot\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1}+2x-3x^{2}\right).
Posso opcionalmente simplificar alguns fatores (por exemplo x^{2} com \frac{2}{x}), mas a forma acima é clara e correta.

Passo 6

Agora calculo os valores necessários para a reta tangente em x=1. Primeiro f(1):
f(1)=\frac{1^{2}\cdot e^{1^{2}+1}\cdot(1+2)}{(1+1)\cdot e^{1^{3}}}=\frac{1\cdot e^{2}\cdot 3}{2\cdot e^{1}}=\frac{3}{2}\,e.
Explicação: e^{2}/e^{1}=e.
Em seguida calculo f'(1). Uso a forma f'(1)=f(1)\cdot\big(\cdots\big) com a expressão dentro dos parênteses avaliada em x=1:
\frac{2}{1}+\frac{1}{1+2}-\frac{1}{1+1}+2\cdot 1-3\cdot 1^{2}=2+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2-3.
Faço as contas passo a passo:
2+2-3=1,
\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2-3}{6}=-\frac{1}{6},
logo a soma é
1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.
Portanto
f'(1)=f(1)\cdot\frac{5}{6}=\frac{3}{2}\,e\cdot\frac{5}{6}=\frac{15}{12}\,e=\frac{5}{4}\,e.

Passo 7

Equação da reta tangente: para x_{0}=1 com ponto \big(1,f(1)\big) e coeficiente angular m=f'(1), a forma ponto-de-clique dá
y=f'(1)\,(x-1)+f(1).
Substituindo f'(1)=\frac{5}{4}e e f(1)=\frac{3}{2}e,
y=\frac{5}{4}\,e\,(x-1)+\frac{3}{2}\,e.
Faço a simplificação das constantes:
y=\frac{5}{4}\,e\,x-\frac{5}{4}\,e+\frac{3}{2}\,e=\frac{5}{4}\,e\,x+\left(-\frac{5}{4}+\frac{3}{2}\right)e.
Calculo o parêntese:
-\frac{5}{4}+\frac{3}{2}=-\frac{5}{4}+\frac{6}{4}=\frac{1}{4}.
Logo a reta fica
y=\frac{5}{4}\,e\,x+\frac{1}{4}\,e=\frac{5e}{4}x+\frac{e}{4},
que é exatamente a forma fornecida no enunciado para o item (b).

Resposta

a) f'(x)=\frac{x^{2}\cdot e^{x^{2}+1}\cdot (x+2)}{(x+1)\cdot e^{x^{3}}}\cdot\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1}+2x-3x^{2}\right)
b) y=\frac{5e}{4}x+\frac{e}{4}

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