Considere a função
a) Use derivação logarítmica para calcular
.
b) Determine a reta tangente à curva
no ponto
.
Resposta do item b):
b) Determine a reta tangente à curva
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (item a) Usar derivação logarítmica para calcular
. - (item b) Determinar a reta tangente à curva
no ponto .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Explicação do método (derivação logarítmica) de forma didática:
A derivação logarítmica consiste em tomar o logaritmo natural da função (quando possível) para transformar produtos e quocientes em somas e diferenças, o que simplifica a diferenciação. Se é uma função diferenciável e não nula, temos
A derivação logarítmica consiste em tomar o logaritmo natural da função (quando possível) para transformar produtos e quocientes em somas e diferenças, o que simplifica a diferenciação. Se
Ou seja, diferenciamos o lado direito (já simplificado por soma/ diferença) e, no final, isolamos
por
Aqui
é a função dada e
é a variável independente. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Tomamos logaritmo natural de
. Primeiro simplifico mentalmente a expressão exponencial:
Então podemos escrever
Agora aplico
em ambos os lados:
Explico cada termo:
-
vem do fator . -
vem do fator . -
vem do divisor . -
é o expoente da função exponencial, e o próprio expoente.
Também é útil reescrever
(isso vale quando
, mas tratamos simbolicamente).
Passo 4
Derivo ambos os lados em relação a
. Vou derivar termo a termo e explicar cada derivada:
- Derivada de
é (regra: ). - Derivada de
é (regra: , aqui e ). - Derivada de
é . - Derivada de
é (regras básicas: , , constante some zero).
Somando tudo:
Passo 5
Usando a identidade
, obtemos
Isolando
,
Agora substituo a expressão original de
para apresentar
explicitamente:
Posso opcionalmente simplificar alguns fatores (por exemplo
com
), mas a forma acima é clara e correta.
Passo 6
Agora calculo os valores necessários para a reta tangente em
. Primeiro
:
Explicação:
.
Em seguida calculo
. Uso a forma
com a expressão dentro dos parênteses avaliada em
:
Faço as contas passo a passo:
logo a soma é
Portanto
Passo 7
Equação da reta tangente: para
com ponto
e coeficiente angular
, a forma ponto-de-clique dá
Substituindo
e
,
Faço a simplificação das constantes:
Calculo o parêntese:
Logo a reta fica
que é exatamente a forma fornecida no enunciado para o item (b).
Resposta
a)
b)