Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(sen x)^x.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos a função y=(sen x)^x. O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, d yd x. O conteúdo que vamos usar aqui é a derivação logarítmica, uma técnica muito útil quando lidamos com funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Começamos aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação, para simplificar a derivação. Então, aplicamos o logaritmo na função:
ln(y) = ln((sen x)^x)
Usando a propriedade dos logaritmos que nos permite trazer o expoente para frente, ficamos assim:
ln(y) = x cdot ln(sen x)

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x. Aqui, precisamos usar a regra da cadeia para a derivada do lado esquerdo e a regra do produto para o lado direito.
A derivada do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, é:
1y cdot d yd x
E para o lado direito, vamos usar a regra do produto. A derivada de x cdot ln(sen x) é:
dd x(x) cdot ln(sen x) + x cdot dd x(ln(sen x))
A derivada de x é 1, então a primeira parte se torna ln(sen x).
Agora, precisamos derivar $ \ln(\operatorname{sen} x) $, que é:
ln(sen x)
Juntando tudo, a derivada do lado direito fica:
1sen x cdot dd x(sen x) = 1sen x cdot cos x

Passo 4

Agora, juntando ambas as derivadas, temos:
1y cdot d yd x = ln(sen x) + x cdot (cos xsen x)
Para isolar d yd x, multiplicamos ambos os lados por y:
d yd x = y cdot (ln(sen x) + x cdot (cos xsen x))

Passo 5

Agora, lembrando que y=(sen x)^x, podemos substituir y na derivada:
d yd x = (sen x)^x cdot (ln(sen x) + x cdot (cos xsen x))

Resposta

Assim, a derivada d yd x é:
d yd x = (sen x)^x cdot (ln(sen x) + x cdot (cos xsen x))

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