Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(h) y^prime prime-6 y^prime+9 y=t, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Especificamente, a equação é:
y'' - 6y' + 9y = t
E as condições iniciais são:
y(0) = 0 e y'(0) = 1
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly = Y(s)
E sabemos que:
Lt = 1s^2

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Ly'' - 6Ly' + 9Ly = Lt
Substituindo pelas fórmulas:
(s^2 Y(s) - s cdot 0 - 1) - 6(s Y(s) - 0) + 9 Y(s) = 1s^2
Simplificando:
s^2 Y(s) - 1 - 6s Y(s) + 9 Y(s) = 1s^2

Passo 4

Vamos reunir os termos com (s^2 - 6s + 9) Y(s) - 1 = 1s^2 :
(s^2 - 6s + 9) Y(s) = 1s^2 + 1
Isolando Y(s) = 1s^2 + 1s^2 - 6s + 9 :

Passo 5

Simplificando o denominador:
s^2 - 6s + 9 = (s - 3)^2
Então:
Y(s) = 1s^2 + 1(s - 3)^2 = 1 + s^2s^2 (s - 3)^2

Passo 6

Agora, decompomos em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Y(s) = 1 + s^2s^2 (s - 3)^2
Podemos reescrever isso como:
Y(s) = As + Bs^2 + Cs - 3 + D(s - 3)^2
Multiplicando ambos os lados por 1 + s^2 = A s (s - 3)^2 + B (s - 3)^2 + C s^2 (s - 3) + D s^2 :

Passo 7

Para encontrar os coeficientes 1 + 0 = A cdot 0 cdot 9 + B cdot 9 + C cdot 0 + D cdot 0 Rightarrow B = 19 , escolhemos valores estratégicos de 1 + 9 = A cdot 3 cdot 0 + B cdot 0 + C cdot 9 cdot 0 + D cdot 9 Rightarrow D = 109 :
  • Para A = -19, C = 19 :
  • Para :
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes dos termos restantes para encontrar e . Após resolver, encontramos:

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados de Y(s) = -19 cdot 1s + 19 cdot 1s^2 + 19 cdot 1s - 3 + 109 cdot 1(s - 3)^2 :

Passo 9

Aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
y(t) = -19 cdot 1 + 19 cdot t + 19 e^3t + 109 t e^3t
Simplificando:
y(t) = 19 t - 19 + 19 e^3t + 109 t e^3t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 19 t - 19 + 19 e^3t + 109 t e^3t

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