Determine a derivada:
f(x)=arccos (e^x+1).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado da questão nos pede para determinar a derivada da função f(x)=arccos(e^x+1). O conteúdo que estamos usando aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente precisamos conhecer a regra da cadeia e a derivada da função arccos(x). Para resolver, vamos precisar aplicar essas regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a derivada da função arccos(u), onde u é uma função de x. A derivada de arccos(u) em relação a x é dada pela fórmula:
ddx [arccos(u)] = -1raiz1-u^2 cdot dudx
Neste caso, u = e^x + 1. Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, ou seja, vamos calcular dudx.

Passo 3

A derivada de u = e^x + 1 é:
dudx = ddx(e^x) + ddx(1)
Como a derivada de e^x é e^x e a derivada de uma constante (neste caso, 1) é 0, temos:
dudx = e^x + 0 = e^x
Agora que temos dudx, vamos aplicar isso na fórmula que encontramos no passo anterior.

Passo 4

Agora, usando a derivada da arccos(u), ficamos com:
ddx [arccos(e^x+1)] = -1raiz1-(e^x+1)^2 cdot e^x
A expressão 1 - (e^x+1)^2 pode ser simplificada, mas antes de fazer isso, é melhor manter a expressão como está para ver a resposta final de forma mais clara. Assim, temos a derivada.

Resposta

A derivada da função é dada por:
f'(x) = -e^xraiz1 - (e^x+1)^2

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