Calcular a inclinação da tangente à curva segundo a qual o plano y=1 corta o parabolóide de revolução z=x^2+y^2, no ponto p=(2,1,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a inclinação da tangente à curva na qual o plano corta o parabolóide de revolução , especificamente no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas que nos ajudam a encontrar inclinações de tangentes em curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva de interseção entre o plano z = x^2 + (1)^2 implies z = x^2 + 1 e o parabolóide . Como o plano fixa em 1, substituímos na equação do parabolóide:
Então, a curva de interseção é definida por com . Podemos representar essa curva no espaço como .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente a essa curva no ponto f'(x) = ddx(x^2 + 1) = 2x . A inclinação de uma tangente em uma curva dada por é determinada pela derivada de em relação a .
No nosso caso, . Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Com a derivada f'(2) = 2 times 2 = 4 , podemos encontrar a inclinação da tangente no ponto :

Resposta

A inclinação da tangente à curva no ponto é 4.

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