Use o determinante para verificar quais das matrizes abaixo são inversíveis, caso seja, calcule sua inversa.
\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\\\ 2 & 7 & 3 \\\\ 1 & 7 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2\\\\ 2 & 7 & 3\\\\ 1 & 7 & 5 \end{pmatrix}
é invertível usando o determinante. Lembrando que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}7 & 3\\\ 7 & 5\end{vmatrix} -4\cdot\begin{vmatrix}2 & 3\\\ 1 & 5\end{vmatrix} +2\cdot\begin{vmatrix}2 & 7\\\ 1 & 7\end{vmatrix}.
Agora, cada menor 2\times 2:
\begin{vmatrix}7 & 3\\\ 7 & 5\end{vmatrix} =7\cdot5 - 3\cdot7 = 35 - 21 = 14,
\begin{vmatrix}2 & 3\\\ 1 & 5\end{vmatrix} =2\cdot5 - 3\cdot1 = 10 - 3 = 7,
\begin{vmatrix}2 & 7\\\ 1 & 7\end{vmatrix} =2\cdot7 - 7\cdot1 = 14 - 7 = 7.

Passo 3

Substituindo esses valores em \det(A):
\det(A) = 1\cdot14 \;-\;4\cdot7 \;+\;2\cdot7 =14 - 28 + 14 = 0.

Passo 4

Como \det(A)=0, concluímos que A não é invertível. Não existe matriz inversa quando o determinante é zero.

Resposta

A matriz não é invertível, pois \det(A)=0.

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