Use o determinante para verificar quais das matrizes abaixo são inversíveis, caso seja, calcule sua inversa.
\left[\begin{array}{lll}5 & 3 & 2 \\\\ 0 & 7 & 1 \\\\ 0 & 0 & 9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz triangular superior
A = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 2\\\\ 0 & 7 & 1\\\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}
e pede para verificar sua invertibilidade usando o determinante e, se invertível, calcular A^{-1}. Vamos usar a propriedade de matrizes triangulares (determinante é o produto dos elementos da diagonal) e depois resolver para os coeficientes de A^{-1} supondo que ela também seja triangular superior.

Passo 2

Como A é triangular superior,
\det(A) = 5 \cdot 7 \cdot 9 = 315.

Passo 3

Como \det(A) = 315 \neq 0, concluímos que A é invertível.

Passo 4

Suponha
A^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\\\ 0 & b_{22} & b_{23}\\\\ 0 & 0 & b_{33} \end{pmatrix}.
Para matrizes triangulares,
b_{11} = \frac{1}{5},\quad b_{22} = \frac{1}{7},\quad b_{33} = \frac{1}{9}.
Agora impomos A\,A^{-1}=I:
  1. Para a posição (1,2):
5\,b_{12} + 3\,b_{22} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5\,b_{12} + 3\cdot\frac{1}{7} = 0 \quad\Longrightarrow\quad b_{12} = -\frac{3}{35}.
  1. Para a posição (2,3):
7\,b_{23} + 1\cdot b_{33} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7\,b_{23} + \frac{1}{9} = 0 \quad\Longrightarrow\quad b_{23} = -\frac{1}{63}.
  1. Para a posição (1,3):
5\,b_{13} + 3\,b_{23} + 2\,b_{33} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5\,b_{13} + 3\Bigl(-\frac{1}{63}\Bigr) + 2\cdot\frac{1}{9} = 0
\Longrightarrow\quad 5\,b_{13} - \frac{3}{63} + \frac{2}{9} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5\,b_{13} = -\frac{11}{63} \quad\Longrightarrow\quad b_{13} = -\frac{11}{315}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & -\frac{3}{35} & -\frac{11}{315}\\\\ 0 & \frac{1}{7} & -\frac{1}{63}\\\\ 0 & 0 & \frac{1}{9} \end{pmatrix}.

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