1. Use a diagonalização para calcular A^{10} para a matriz A= \left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^{10} usando diagonalização, onde
A = \begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
O conteúdo é potência de matriz via diagonalização; vamos precisar dos autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Como A já é diagonal, seus autovalores são simplesmente os elementos da diagonal. Logo,
\lambda_1 = 3,\quad \lambda_2 = 2.
Os autovetores associados são os vetores canônicos e_1=(1,0)^T e e_2=(0,1)^T.

Passo 3

Podemos montar a diagonalização
P = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}, \quad P^{-1}=P,
de modo que A = P D P^{-1}.

Passo 4

Pela propriedade de potências de matrizes diagonalizáveis, temos
A^{10} = P\,D^{10}\,P^{-1} = D^{10}.

Passo 5

Basta elevar cada entrada de D à décima potência:
D^{10} = \begin{pmatrix}3^{10} & 0 \\[6pt] 0 & 2^{10}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}59049 & 0 \\[3pt] 0 & 1024\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{10} = \begin{pmatrix}59049 & 0 \\[3pt] 0 & 1024\end{pmatrix}.]

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