1. Encontre uma matriz P que diagonaliza A=\left[\begin{array}{ll}6 & 2 \\\\ 2 & 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz P tal que P^{-1}AP seja diagonal, onde
A = \begin{pmatrix}6 & 2 \\[6pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Para diagonalizar, vamos calcular os autovalores e autovetores de A.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A dado por \det(A - \lambda I). Como
A - \lambda I = \begin{pmatrix}6-\lambda & 2 \\[4pt] 2 & 3-\lambda\end{pmatrix},
temos
\det(A - \lambda I) = (6-\lambda)(3-\lambda) - 2\cdot2 = \lambda^2 - 9\lambda +14.]

Passo 3

As raízes de \lambda^2 -9\lambda +14=0 são
\lambda = \frac{9 \pm \sqrt{81 -56}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2},
logo os autovalores são \lambda_1=7 e \lambda_2=2.

Passo 4

Para \lambda_1=7 resolvemos
(A - 7I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 2 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\[3pt] x_2\end{pmatrix}=0,
que leva a -x_1 + 2x_2 = 0, então x_1 = 2x_2. Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}2 \\[3pt] 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2 resolvemos
(A - 2I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}4 & 2 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\[3pt] x_2\end{pmatrix}=0,
que dá 2x_1 + x_2 = 0, logo x_2 = -2x_1. Um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\[3pt] -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como v_1 e v_2 são linearmente independentes, formamos a matriz cujas colunas são esses autovetores:
P = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
Essa matriz satisfaz P^{-1}AP=D, onde D=\mathrm{diag}(7,2).]

Resposta

P = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}.]

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