Verifique se as seguintes funções definem produto interno em \mathbb{R}^{2} :
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=2 x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos verificar se a aplicação
\langle (x_{1},y_{1}),\,(x_{2},y_{2})\rangle \;=\;2\,x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}
é um produto interno em \mathbb{R}^{2}. Para isso precisamos checar três propriedades:
  1. Simetria: \langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle.
  2. Bilinearidade (linearidade em cada argumento).
  3. Definida positiva: \langle v,v\rangle \ge 0 e igual a zero só para v=0.

Passo 2

Verificação da simetria e bilinearidade:
  • Simetria: trocando (x_{1},y_{1}) por (x_{2},y_{2}) obtemos
2\,x_{2}x_{1}+y_{2}y_{1} \;=\; 2\,x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},
portanto \langle (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\rangle = \langle (x_{2},y_{2}), (x_{1},y_{1})\rangle.
  • Linearidade no primeiro argumento: para vetores u=(x_{1},y_{1}), v=(x_{2},y_{2}), w=(x_{3},y_{3}) e escalar \alpha, temos
\langle u+v, w\rangle =2\,(x_{1}+x_{2})x_{3}+(y_{1}+y_{2})y_{3} =2x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3}+2x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} =\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle,
\langle \alpha\,u, w\rangle =2\,(\alpha x_{1})x_{3}+(\alpha y_{1})y_{3} =\alpha\,(2x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3}) =\alpha\,\langle u,w\rangle.
Pela simetria, a linearidade no segundo argumento também vale.

Passo 3

Verificação da definida positiva: para v=(x,y),
\langle v,v\rangle =2\,x^{2}+y^{2}.
Como 2\,x^{2}\ge0 e y^{2}\ge0, segue que \langle v,v\rangle\ge0. Além disso, \langle v,v\rangle=0 implica 2x^{2}=0 e y^{2}=0, ou seja x=0 e y=0, logo v=0.

Resposta

Sim. A aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz simetria, bilinearidade e definição positiva, logo é um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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