Verifique se as seguintes funções definem produto interno em
:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos verificar se a aplicação
é um produto interno em
. Para isso precisamos checar três propriedades:
- Simetria:
. - Bilinearidade (linearidade em cada argumento).
- Definida positiva:
e igual a zero só para .
Passo 2
Verificação da simetria e bilinearidade:
- Simetria: trocando
por obtemos
portanto
.
- Linearidade no primeiro argumento: para vetores
, , e escalar , temos
Pela simetria, a linearidade no segundo argumento também vale.
Passo 3
Verificação da definida positiva: para
,
Como
e
, segue que
. Além disso,
implica
e
, ou seja
e
, logo
.
Resposta
Sim. A aplicação
satisfaz simetria, bilinearidade e definição positiva, logo é um produto interno em
.