Verifique se as seguintes matrizes são diagonalizáveis:
C=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
C = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}
é diagonalizável. Lembra que uma matriz de ordem n é diagonalizável sobre um corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}) se o polinômio característico se fatora no corpo e existem n autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de C usando
\det(C - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\\ -1 & -\lambda\end{pmatrix} = \lambda^2 + 1.
As raízes são
\lambda = \pm i,
que são números complexos.

Passo 3

Sobre o corpo real \mathbb{R}, o polinômio \lambda^2+1 não se fatora (não há raízes reais), logo não há autovalores nem autovetores reais. Portanto C não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Passo 4

Sobre o corpo complexo \mathbb{C}, o polinômio fatora em (\lambda - i)(\lambda + i) com duas raízes distintas, então a multiplicidade algébrica de cada autovalor é 1. Basta exibir dois autovetores independentes:
para \lambda = i resolvemos
(C - iI)\binom{x}{y} = 0 \quad\Longrightarrow\quad -y + i\,x = 0 \;\Rightarrow\; y = i\,x,
um autovetor é \bigl(1,i\bigr).
para \lambda = -i obtemos y = -i\,x, um autovetor é \bigl(1,-i\bigr).
Esses dois vetores são independentes em \mathbb{C}^2, então C é diagonalizável sobre \mathbb{C}.

Resposta

Não é diagonalizável sobre \mathbb{R}, mas é diagonalizável sobre \mathbb{C}.

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