Use diferenciação implícita para calcular a derivada da função y=f(x) em cada um dos casos abaixo:
raiz2+raiz3+raiz[3]y^4-2=x^2

Passo 1

O enunciado define y=f(x) implicitamente por
raiz2+raiz3+raiz[3]y^4-2 = x^2,
e pede dydx. O conteúdo principal é diferenciação implícita, usando a regra da cadeia várias vezes.

Passo 2

Aplicamos derivada em ambos os lados de
raiz2+raiz3+raiz[3]y^4-2 = x^2
No lado direito
ddx(x^2) = 2x

Passo 3

No lado esquerdo chamamos
U = 2 + raiz3+raiz[3]y^4-2,
de modo que a expressão é raizU. Pela regra da cadeia,
ddxl(raizUr) = 12raizU;dUdx

Passo 4

Agora U = 2+V com
V = raiz3+W, W = raiz[3]y^4-2
Temos
dUdx = dVdx, dVdx = 12raiz3+W;dWdx

Passo 5

Para W=(y^4-2)^1/3 a regra da cadeia dá
dWdx = 13(y^4-2)^-2/3;ddx(y^4-2) = 13(y^4-2)^-2/3cdot 4y^3,dydx = 4y^33,(y^4-2)^2/3,y'

Passo 6

Juntando tudo, a derivada do lado esquerdo é
ddxl(raizUr) = 12raizU cdot 12raiz3+W cdot 4y^33,(y^4-2)^2/3,y' = y^33,(y^4-2)^2/3,raizU,raiz3+W,y'
Substituindo U=2+raiz3+W e W=raiz[3]y^4-2, igualamos a 2x:
y^33,(y^4-2)^2/3,raiz2+raiz3+raiz[3]y^4-2,raiz3+raiz[3]y^4-2,y' = 2x

Passo 7

Isolando y':
y' = 2x ;3,(y^4-2)^2/3,raiz2+raiz3+raiz[3]y^4-2,raiz3+raiz[3]y^4-2y^3 = 6x,(y^4-2)^2/3,raiz2+raiz3+raiz[3]y^4-2,raiz3+raiz[3]y^4-2y^3

Resposta

dydx = 6x,(y^4-2)^2/3,raiz2+raiz3+raiz[3]y^4-2,raiz3+raiz[3]y^4-2y^3

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