Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação linear não-homogênea
usando o método de variação de parâmetros. Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 2
Estudamos a equação homogênea
A equação característica é
cujas raízes são , e . Logo, um conjunto fundamental de soluções é
Passo 3
Pelo método de variação de parâmetros, procuramos
sujeito às condições
Sabendo y1=1, y1'=0, y1''=0, y2=cos t, y2'=-sin t, y2''=-cos t, y3=sin t, y3'=cos t, y3''=-sin t, o sistema vira
u1' + u2'cos t + u3'sin t = 0, -,u2'sin t + u3'cos t = 0, -,u2'cos t - u3'sin t = sec t
Passo 4
Da segunda equação vem
u3' = u2',tan t
Substituindo na terceira,
-,u2'cos t - u2'tan t,sin t = sec t Longrightarrow u2' l(cos t + tfracsin^2 tcos tr) = -tfrac1cos t Longrightarrow u2' = -1
Logo
u3' = -tan t
Finalmente, da primeira equação
u1' = -l(u2'cos t + u3'sin tr) = -l(-cos t -sin t,tan tr) = sec t
Passo 5
Integramos cada um:
u1(t)=integral sec t,dt = lnl|sec t + tan tr|, u2(t)=integral (-1),dt = -t, u3(t)=integral (-tan t),dt = lnl|cos tr|
Passo 6
A solução particular é
yp(t) = u1 + u2cos t + u3sin t = lnl|sec t + tan tr| - tcos t + sin t,lnl|cos tr|
Portanto, a solução geral da equação dada é
y(t) = C1 + C2cos t + C3sin t + lnl|sec t + tan tr| - tcos t + sin t,lnl|cos tr|
Resposta
y(t) = C1 + C2cos t + C3sin t + lnl|sec t + tan tr| - tcos t + sin t,lnl|cos tr|