Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime prime+y^prime=sec t, -pi2<t<pi2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear não-homogênea
y''' + y' = sec t, -tfracpi2<t<tfracpi2,
usando o método de variação de parâmetros. Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Estudamos a equação homogênea
y''' + y' = 0
A equação característica é
r^3 + r = r(r^2+1)=0,
cujas raízes são r=0, r=i e r=-i. Logo, um conjunto fundamental de soluções é
y1(t)=1, y2(t)=cos t, y3(t)=sin t

Passo 3

Pelo método de variação de parâmetros, procuramos
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)+u3(t),y3(t)
sujeito às condições
u1' ,y1 + u2' ,y2 + u3' ,y3 = 0, u1' ,y1' + u2' ,y2' + u3' ,y3' = 0, u1' ,y1'' + u2' ,y2'' + u3' ,y3'' = sec t
Sabendo y1=1, y1'=0, y1''=0, y2=cos t, y2'=-sin t, y2''=-cos t, y3=sin t, y3'=cos t, y3''=-sin t, o sistema vira
u1' + u2'cos t + u3'sin t = 0, -,u2'sin t + u3'cos t = 0, -,u2'cos t - u3'sin t = sec t

Passo 4

Da segunda equação vem
u3' = u2',tan t
Substituindo na terceira,
-,u2'cos t - u2'tan t,sin t = sec t Longrightarrow u2' l(cos t + tfracsin^2 tcos tr) = -tfrac1cos t Longrightarrow u2' = -1
Logo
u3' = -tan t
Finalmente, da primeira equação
u1' = -l(u2'cos t + u3'sin tr) = -l(-cos t -sin t,tan tr) = sec t

Passo 5

Integramos cada um:
u1(t)=integral sec t,dt = lnl|sec t + tan tr|, u2(t)=integral (-1),dt = -t, u3(t)=integral (-tan t),dt = lnl|cos tr|

Passo 6

A solução particular é
yp(t) = u1 + u2cos t + u3sin t = lnl|sec t + tan tr| - tcos t + sin t,lnl|cos tr|
Portanto, a solução geral da equação dada é
y(t) = C1 + C2cos t + C3sin t + lnl|sec t + tan tr| - tcos t + sin t,lnl|cos tr|

Resposta

y(t) = C1 + C2cos t + C3sin t + lnl|sec t + tan tr| - tcos t + sin t,lnl|cos tr|

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