Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\left(4 x y-3 y^{3}\right)^{3}+5 x^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y. A função dada é
f(x,y)=\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{3}+5x^{2}y.
Informações relevantes:
  • Há dois termos: o primeiro é uma potência de uma expressão que envolve x e y, o segundo é um produto entre potências de x e y.
  • Precisa-se de \dfrac{\partial f}{\partial x} e de \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial (intuição e definição curta)?
  • A derivada parcial de f em relação a x, \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f muda quando x varia e y fica fixo.
  • A derivada parcial de f em relação a y, \dfrac{\partial f}{\partial y}, mede como f muda quando y varia e x fica fixo.
Formalmente, a derivada parcial em x é a derivada da função de uma variável que se obtém ao tratar y como constante:
\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\left.\dfrac{d}{dx}f(x,y)\right|_{y\text{ constante}}.
O mesmo vale trocando x por y.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (lembretes práticos):
  • Regra do poder (power rule): para uma função de uma variável g(t)=t^{n},
\dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{\,n-1}.
  • Regra da cadeia (chain rule): se F(t)=h(g(t)) com h derivável e g derivável, então
F'(t)=h'(g(t))\cdot g'(t).
No nosso caso, o primeiro termo é da forma h(u)=u^{3} com u=4xy-3y^{3}.
  • Regra do produto: se p(t)=r(t)s(t), então
p'(t)=r'(t)s(t)+r(t)s'(t).
Aqui o termo 5x^{2}y é produto de 5x^{2} e y quando derivamos em x (ou de 5x^{2} e y quando derivamos em y, lembrando qual é tratado como constante).
Exemplo rápido: se u(x)= (ax+b)^{3} então u'(x)=3(ax+b)^{2}\cdot a.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
Identificar o “ínner” (função interna) do primeiro termo:
u(x,y)=4xy-3y^{3}.
Aplicando a regra da cadeia a \bigl(u(x,y)\bigr)^{3}:
  • Derivada externa: se H(u)=u^{3} então H'(u)=3u^{2}.
  • Derivada interna em relação a x: mantendo y constante,
\dfrac{\partial u}{\partial x}= \dfrac{\partial}{\partial x}(4xy-3y^{3})=4y,
pois -3y^{3} é constante em x.
Portanto a derivada do primeiro termo em relação a x é
3\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}\cdot 4y = 12y\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}.
Agora o segundo termo 5x^{2}y. Tratando y como constante:
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(5x^{2}y\bigr)=5\cdot 2x\cdot y = 10xy.
Somando as contribuições:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=12y\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}+10xy.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
Usar novamente u(x,y)=4xy-3y^{3}. Pela regra da cadeia:
  • Derivada externa: 3u^{2}.
  • Derivada interna em relação a y:
\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(4xy-3y^{3})=4x-9y^{2},
pois \dfrac{\partial}{\partial y}(4xy)=4x e \dfrac{\partial}{\partial y}(-3y^{3})=-9y^{2}.
Assim a derivada do primeiro termo em relação a y é
3\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}\cdot(4x-9y^{2}).
Agora o segundo termo 5x^{2}y. Tratando x como constante:
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(5x^{2}y\bigr)=5x^{2}.
Somando as contribuições:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=3\bigl(4x-9y^{2}\bigr)\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}+5x^{2}.

Passo 6

Observações finais rápidas (dicas para a prova):
  • Sempre identifique a função interna quando houver potências compostas e calcule sua derivada parcial em relação à variável de interesse.
  • Ao derivar termos como x^{m}y^{n}, trate a variável não diferenciada como constante (ex.: \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2x\cdot y).
  • Se quiser, pode fatorar y em \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=y\!\left(12\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}+10x\right),
mas a forma não-fatorada já está perfeitamente correta.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=12y\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}+10xy
\dfrac{\partial f}{\partial y}=3\bigl(4x-9y^{2}\bigr)\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}+5x^{2}

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