Regras de diferenciação que vamos usar (lembretes práticos):
Regra do poder (power rule): para uma função de uma variável g(t)=t^{n},
\dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{\,n-1}.
Regra da cadeia (chain rule): se F(t)=h(g(t)) com h derivável e g derivável, então
F'(t)=h'(g(t))\cdot g'(t).
No nosso caso, o primeiro termo é da forma h(u)=u^{3} com u=4xy-3y^{3}.
Regra do produto: se p(t)=r(t)s(t), então
p'(t)=r'(t)s(t)+r(t)s'(t).
Aqui o termo 5x^{2}y é produto de 5x^{2} e y quando derivamos em x (ou de 5x^{2} e y quando derivamos em y, lembrando qual é tratado como constante).
Exemplo rápido: se u(x)= (ax+b)^{3} então u'(x)=3(ax+b)^{2}\cdot a.
Passo 4
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
Identificar o “ínner” (função interna) do primeiro termo:
u(x,y)=4xy-3y^{3}.
Aplicando a regra da cadeia a \bigl(u(x,y)\bigr)^{3}:
Derivada externa: se H(u)=u^{3} então H'(u)=3u^{2}.
Derivada interna em relação a x: mantendo y constante,