Use a diferenciação implícita para encontrar \boldsymbol{d} \boldsymbol{y} / \boldsymbol{d} \boldsymbol{x} :
y^{5}+x^{2} y^{3}=2+x^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos \dfrac{dy}{dx} de forma implícita na equação
y^{5} + x^{2}y^{3} = 2 + x^{2}y.
O conteúdo principal aqui é a diferenciação implícita, em que derivamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x.

Passo 2

Derivamos cada termo de acordo com a regra da cadeia e, quando for produto, aplicamos a regra do produto.
Derivando o lado esquerdo:
\frac{d}{dx}(y^{5}) = 5y^{4}\,\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}(x^{2}y^{3}) = \underbrace{\frac{d}{dx}(x^{2})}_{2x}\,y^{3} + x^{2}\,\underbrace{\frac{d}{dx}(y^{3})}_{3y^{2}\,\frac{dy}{dx}} = 2x\,y^{3} + 3x^{2}y^{2}\,\frac{dy}{dx}.
Derivando o lado direito:
\frac{d}{dx}(2) = 0, \qquad \frac{d}{dx}(x^{2}y) = 2x\,y + x^{2}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora igualamos as derivadas e reunimos todos os termos com \tfrac{dy}{dx} de um lado:
5y^{4}\,\frac{dy}{dx} + \bigl(2x\,y^{3} + 3x^{2}y^{2}\,\frac{dy}{dx}\bigr) = 0 + \bigl(2x\,y + x^{2}\,\frac{dy}{dx}\bigr).
Isto é,
5y^{4}\,\frac{dy}{dx} + 2x\,y^{3} + 3x^{2}y^{2}\,\frac{dy}{dx} = 2x\,y + x^{2}\,\frac{dy}{dx}.
Passamos os termos sem \tfrac{dy}{dx} para o lado direito e os com \tfrac{dy}{dx} para o esquerdo:
5y^{4}\,\frac{dy}{dx} + 3x^{2}y^{2}\,\frac{dy}{dx} - x^{2}\,\frac{dy}{dx} = 2x\,y - 2x\,y^{3}.

Passo 4

Fatoramos \tfrac{dy}{dx} no lado esquerdo e 2x no direito:
\bigl(5y^{4} + 3x^{2}y^{2} - x^{2}\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 2x\,(y - y^{3}).
Finalmente,
\frac{dy}{dx} = \frac{2x\,(y - y^{3})}{5y^{4} + 3x^{2}y^{2} - x^{2}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{2x\,(y - y^{3})}{5y^{4} + 3x^{2}y^{2} - x^{2}}.

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