Use a diferenciação logarítmica para encontrar a derivada da função a seguir:
y=(\operatorname{sen} x)^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=(\operatorname{sen}x)^{x} e sugere usar diferenciação logarítmica, um método que é ideal quando temos expressão da forma “base variável elevado a expoente variável”. Vamos aplicar \ln em ambos os lados para simplificar o processo.

Passo 2

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln y = \ln\bigl((\operatorname{sen}x)^{x}\bigr).
Como \ln(a^{b}) = b\,\ln(a), isso vira
\ln y = x\,\ln\bigl(\operatorname{sen}x\bigr).

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, a derivada de \ln y é \tfrac{1}{y}y'. No lado direito usamos a regra do produto em x\,\ln(\operatorname{sen}x):
\frac{1}{y}\,y' = 1\cdot \ln\bigl(\operatorname{sen}x\bigr) + x\cdot \frac{d}{dx}\bigl[\ln(\operatorname{sen}x)\bigr].
Como \tfrac{d}{dx}\ln(\operatorname{sen}x)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}=\cot x, fica
\frac{1}{y}\,y' = \ln\bigl(\operatorname{sen}x\bigr) + x\,\cot x.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y para isolar y', e em seguida substituímos y=(\operatorname{sen}x)^{x}:
y' = y\Bigl[\ln\bigl(\operatorname{sen}x\bigr) + x\,\cot x\Bigr] = (\operatorname{sen}x)^{x}\Bigl[\ln\bigl(\operatorname{sen}x\bigr) + x\,\cot x\Bigr].

Resposta

A derivada é
y' = (\operatorname{sen}x)^{x}\Bigl[\ln\bigl(\operatorname{sen}x\bigr) + x\,\cot x\Bigr].

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