Usando as regras de derivação apropriadas, determine as derivadas das funções abaixo:
y=\cos (x \cdot \operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \cos\bigl(x\sin x\bigr).
Aqui vamos usar a regra do produto para derivar o argumento u(x)=x\sin x e depois a regra da cadeia para derivar y=\cos(u).

Passo 2

Definimos
u(x)=x\sin x
e aplicamos a regra do produto (fg)'=f'g+fg':
u'(x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x\cos x.

Passo 3

Agora derivamos
y = \cos\bigl(u(x)\bigr)
pela regra da cadeia (\cos u)'=-\sin u\cdot u':
y'(x) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\;\cdot\;u'(x) = -\sin\bigl(x\sin x\bigr)\,\bigl(\sin x + x\cos x\bigr).

Resposta

y' = -\bigl(\sin x + x\cos x\bigr)\,\sin\bigl(x\sin x\bigr).

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