Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=1(x-3)(x+2)(x^2+1)

Passo 1

Temos a função racional y=1(x-3)(x+2)(x^2+1). O conteúdo é esboço de gráfico de função racional; para isso vamos precisar estudar domínio, assíntotas, interceptos, sinal e comportamento nos extremos.

Passo 2

O denominador anula-se em x=3 e x=-2, e o fator x^2+1 não tem raízes reais. Logo o domínio é Rsetminus-2,3 e há assíntotas verticais em x=-2 e x=3.
O grau do numerador (0) é menor que o do denominador (4), portanto existe uma assíntota horizontal em y=0.

Passo 3

Para o intercepto em y, fazemos x=0:
y(0)=1(0-3)(0+2)(0^2+1)=1(-3)cdot2cdot1=-16

Passo 4

Não há interceptos em x porque o numerador é constante e nunca zera.
O sinal de y vem de (x-3)(x+2) pois x^2+1>0. Em x<-2 ambos os fatores são negativos, então y>0. Em -2 os fatores têm sinais opostos, logo y<0. Em x>3 ambos são positivos, dando y>0.

Passo 5

Analisando o limite junto às assíntotas:
– Quando xto-2^-, yto+infty; quando xto-2^+, yto-infty.
– Quando xto3^-, yto-infty; quando xto3^+, yto+infty.
Para xtopminfty, yto0^+. Assim,
– No ramo x<-2, o gráfico parte de yapprox0^+ em -infty e cresce até +infty em x=-2.
– Em -2, vem de -infty em x=-2, passa por (0,-1/6) e cai para -infty em x=3.
– Em x>3, sai de +infty em x=3 e decai para 0^+ em +infty.

Resposta

O gráfico tem assíntotas verticais em x=-2,3 e horizontal em y=0, é positivo em (-,-2) e (3,infty), negativo em (-2,3), passa por (0,-1/6), e apresenta três ramos conforme descrito acima.

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