Resolva a equação diferencial y^prime prime=-e^-3 x sujeita as condições
y=-1, e y^prime=2 se x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea y''=-e^-3x com condições iniciais y(0)=-1 e y'(0)=2. Vamos usar o método de integrar duas vezes, pois não há termo de y' ou y presente além de y''.

Passo 2

Integramos a equação y''=-e^-3x para obter y'. Pela regra de integração de exponenciais,
integral -e^-3x,dx = -1-3e^-3x+C1 = 13e^-3x+C1,
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y'(x)=13e^-3x+C1

Passo 3

Agora integramos y'(x) para obter y(x). Novamente usamos a regra de integração de exponenciais:
integral 13e^-3x,dx = 13cdotl(-13e^-3xr)+C2 = -19e^-3x+C2
Somando o termo de C1 multiplicado por x,
y(x)=-19e^-3x+C1x+C2

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais para determinar C1 e C2. Primeiro y'(0)=2:
y'(0)=13e^0+C1=13+C1=2implies C1=2-13=53
Depois y(0)=-1:
y(0)=-19e^0+53cdot0+C2=-19+C2=-1implies C2=-1+19=-89

Resposta

y(x)=-tfrac19e^-3x+tfrac53x-tfrac89

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