Encontre as derivadas sucessivas f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x) e f^{\prime \prime \prime}(x) das funções abaixo:
f(x)=\operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede as três primeiras derivadas de f(x)=\operatorname{sen}(2x). Vamos usar as regras de derivação de funções trigonométricas e a regra da cadeia, que diz que se u(x) é função de x, então
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(u(x))\bigr] =\cos\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot u'(x).

Passo 2

Aplicando a regra acima com u(x)=2x, cuja derivada é u'(x)=2, obtemos
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(2x)\bigr] =\cos(2x)\,\cdot 2 =2\cos(2x).

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=2\cos(2x). Sabendo que \frac{d}{dx}[\cos(u)]=-\,\sin(u)\,u' e que novamente u(x)=2x e u'(x)=2, vem
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[2\cos(2x)\bigr] =2\Bigl(-\sin(2x)\Bigr)\cdot 2 =-4\sin(2x).

Passo 4

Por fim, derivamos f''(x)=-4\sin(2x). Usando \frac{d}{dx}[\sin(u)]=\cos(u)\,u' com u'(x)=2, resulta
f'''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[-4\sin(2x)\bigr] =-4\Bigl(\cos(2x)\Bigr)\cdot 2 =-8\cos(2x).

Resposta

f'(x)=2\cos(2x). f''(x)=-4\sin(2x). f'''(x)=-8\cos(2x).

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