Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
Passo 1
Temos a função
. Aqui o conteúdo é diferenciação logarítmica: vamos usar o fato de que, ao aplicar o logaritmo, produto vira soma e potências viram fatores, facilitando o uso da regra da cadeia e da regra do logaritmo.
Passo 2
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados e usamos propriedades de logaritmo:
Passo 3
Agora diferenciamos em relação a
, lembrando que
e mantendo o termo
do lado esquerdo:
Passo 4
Calculamos as derivadas de cada logaritmo via regra da cadeia:
– Para ,
dá
, logo
.
– Para ,
dá
, logo
– Para
– Para
Passo 5
Substituindo em
e simplificando frações:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
: