Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
h(x)=(3 x^2-1)^7 raiz[4]1-2 x^3

Passo 1

Temos a função h(x)=(3x^2-1)^7raiz[4]1-2x^3. Aqui o conteúdo é diferenciação logarítmica: vamos usar o fato de que, ao aplicar o logaritmo, produto vira soma e potências viram fatores, facilitando o uso da regra da cadeia e da regra do logaritmo.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados e usamos propriedades de logaritmo:
ln h(x)=lnl((3x^2-1)^7r)+lnl((1-2x^3)^1/4r)=7ln(3x^2-1)+14ln(1-2x^3)

Passo 3

Agora diferenciamos em relação a x, lembrando que dfracddxln u= u'/u e mantendo o termo h'(x)/h(x) do lado esquerdo:
h'(x)h(x)=7ddxln(3x^2-1)+14ddxln(1-2x^3)

Passo 4

Calculamos as derivadas de cada logaritmo via regra da cadeia:
– Para ln(3x^2-1), u=3x^2-1 u'=6x, logo dfracddxln(3x^2-1)=dfrac6x3x^2-1.
– Para ln(1-2x^3), v=1-2x^3 v'=-6x^2, logo dfracddxln(1-2x^3)=dfrac-6x^21-2x^3

Passo 5

Substituindo em h'(x)/h(x) e simplificando frações:
h'(x)h(x)=76x3x^2-1+14l(-6x^21-2x^3r)=42x3x^2-1-6x^24(1-2x^3)=42x3x^2-1-3x^22(1-2x^3)

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por h(x)=(3x^2-1)^7(1-2x^3)^1/4 para isolar h'(x):
h'(x)=(3x^2-1)^7(1-2x^3)^1/4l(42x3x^2-1-3x^22(1-2x^3)r)

Resposta

h'(x)=(3x^2-1)^7(1-2x^3)^1/4l(42x3x^2-1-3x^22(1-2x^3)r)

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