Utilizando técnicas de integração, determine:
(1,5) integrale^2^e^3 1x raizln x d x
(0,75)
Substituindo lu=ln x d u=1 / x d x x=e^2 Rightarrow u=2 x=e^3 Rightarrow u=3
(0,75)
integrale^2^e^3 1x raizln x d x=integral2^3 1raizu d u=integral2^3 u^-1 / 2 d u=2 u^1 / 2]2^3=2(raiz3-raiz2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integrale^2^e^3 1x,raizln x;dx
Aqui o conteúdo principal é o uso de substituição para transformar a integral em uma de potência simples.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = ln x, du = 1x,dx
Quando x=e^2 então u=2, e quando x=e^3 então u=3. Logo
1x,dx = du Rightarrow integrale^2^e^31x,raizln x,dx = integral2^3 1raizu,du

Passo 3

Reconhecendo que 1raizu=u^-1/2, temos
integral2^3 u^-1/2,du
cuja antiderivada é
2,u^1/2

Passo 4

Aplicando os limites de 2 a 3:
l[2,u^1/2r]2^3 = 2l(raiz3-raiz2r)

Resposta

2l(raiz3-raiz2r)

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