5.2D Determine as trajetórias ortogonais às seguintes famílias de curvas:
Passo 1
O enunciado dá a família de círculos centrados na origem
e pede as suas trajetórias ortogonais. Em geral, para achar trajetórias ortogonais de uma família
nós:
- obtemos a derivada implícita
da família dada; - substituímos essa derivada por seu negativo recíproco
para montar a EDO das ortogonais; - resolvemos essa EDO para encontrar as curvas ortogonais.
Passo 2
Derivando implicitamente
em relação a
, temos
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Passo 3
Para a família ortogonal, o coeficiente angular deve ser o negativo recíproco, ou seja,
Assim, a EDO das trajetórias ortogonais é
Passo 4
Resolva a EDO por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados,
onde
C é constante de integração. Exponenciando, obtemos
Definindo
k = pm e^C , surge a família de retas
que são todas as linhas passando pela origem.
Resposta
As trajetórias ortogonais à família
x^2+y^2=lambda^2 são as retas