5.2D Determine as trajetórias ortogonais às seguintes famílias de curvas:
x^2+y^2=lambda^2

Passo 1

O enunciado dá a família de círculos centrados na origem
x^2+y^2=lambda^2
e pede as suas trajetórias ortogonais. Em geral, para achar trajetórias ortogonais de uma família F(x,y,lambda)=0 nós:
  1. obtemos a derivada implícita dfracdydx da família dada;
  2. substituímos essa derivada por seu negativo recíproco ,-tfrac1dy/dx para montar a EDO das ortogonais;
  3. resolvemos essa EDO para encontrar as curvas ortogonais.

Passo 2

Derivando implicitamente
x^2+y^2=lambda^2
em relação a x, temos
2x + 2y,dydx=0
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dydx=-xy

Passo 3

Para a família ortogonal, o coeficiente angular deve ser o negativo recíproco, ou seja,
dydx|ort = -1-tfracxy = yx
Assim, a EDO das trajetórias ortogonais é
dydx = yx

Passo 4

Resolva a EDO por separação de variáveis:
dyy = dxx
Integrando ambos os lados,
lnlvert yrvert = lnlvert xrvert + C
onde C é constante de integração. Exponenciando, obtemos
lvert yrvert = e^C,lvert xrvert
Definindo k = pm e^C, surge a família de retas
y = k,x,
que são todas as linhas passando pela origem.

Resposta

As trajetórias ortogonais à família x^2+y^2=lambda^2 são as retas
y = k,x, kinR

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