Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
arctg nn=1^+infty

Passo 1

Nesse exercício, a gente recebe a sequência e quer mostrar que ela é estritamente crescente. O conteúdo aqui é monotonicidade de sequência via análise da derivada de uma função que a representa.

Passo 2

Definimos a função para f(x)=arctg(x) e calculamos sua derivada. A gente sabe da teoria que

Passo 3

Como para todo x>0 vale 1+x^2>0, temos f'(x)>0. Isso significa, pelo teste da derivada, que f é estritamente crescente no intervalo (0,+infty).

Passo 4

Uma vez que f é estritamente crescente, para quaisquer inteiros n>=1 vale f(n+1)>f(n), ou seja, .

Resposta

A sequência é estritamente crescente.

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