Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
n e^-2 nn=1^+infty

Passo 1

Estamos com a sequência an = n e^-2n e queremos usar diferenciação para determinar se ela é estritamente crescente ou decrescente.

Passo 2

Para aplicar diferenciação, estendemos an a uma função de variável real f(x) de forma que f(n)=an. Definimos
f(x)=x e^-2x

Passo 3

Calculamos a derivada de f. Usando a regra do produto e que (e^-2x)'=-2e^-2x, temos
f'(x)=1,e^-2x+x,(-2e^-2x)=e^-2x-2x e^-2x=e^-2x(1-2x)

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x). Como e^-2x>0 para todo x, o sinal de f'(x) é o mesmo de 1-2x. Logo:
  • Se x>tfrac12, então 1-2x<0 e f'(x)<0.
  • Para todos os ninN com n>=1, temos n>tfrac12.

Passo 5

Como em x=n temos f'(n)<0 para todo n>=1, a função f é estritamente decrescente nesse domínio. Daí, a sequência an=f(n) também é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência n e^-2n é estritamente decrescente.

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