Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Estamos com a sequência
e queremos usar diferenciação para determinar se ela é estritamente crescente ou decrescente.
Passo 2
Para aplicar diferenciação, estendemos
a uma função de variável real
de forma que
. Definimos
Passo 3
Calculamos a derivada de
. Usando a regra do produto e que
, temos
Passo 4
Analisamos o sinal de
. Como
para todo
, o sinal de
é o mesmo de
. Logo:
- Se
, então e . - Para todos os
com , temos .
Passo 5
Como em
temos
para todo
, a função
é estritamente decrescente nesse domínio. Daí, a sequência
também é estritamente decrescente.
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente.