Determine a diferencial da função.
z = x^4 - 5 x^2 y + 6 x y^3 + 10

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos encontrar a sua diferencial. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois montar a expressão da diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a diferencial de uma função de duas variáveis. A diferencial representa uma pequena variação em quando e sofrem pequenas variações e . Matematicamente, ela é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Tratamos como uma constante durante essa derivação:
Calculando cada termo:
Então, somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante:
Calculando cada termo:
Então, somando tudo:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar a expressão da diferencial :

Resposta

A diferencial da função é:

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